Question

8．计算：$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+$\frac{{3}^{2}}{5×7}$+…+$\frac{5{0}^{2}}{99×101}$．

Answer 1

分析 先提取$\frac{1}{4}$，将原式变形，再依次将分子化为：2²=1×3+1，4²=3×5+1，6²=5×7=1…，拆项化分别化为1+$\frac{1}{1×3}$，1+$\frac{1}{3×5}$，1+$\frac{1}{5×7}$，…，同时$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），…，再代入化简即可得出结果．

解答 解：$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+$\frac{{3}^{2}}{5×7}$+…+$\frac{5{0}^{2}}{99×101}$，
=$\frac{1}{4}$（$\frac{{2}^{2}}{1×3}$+$\frac{{4}^{2}}{3×5}$+$\frac{{6}^{2}}{5×7}$+…+$\frac{10{0}^{2}}{99×101}$），
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1×3+1}{1×3}$+$\frac{3×5+1}{3×5}$+$\frac{5×7+1}{5×7}$+…+$\frac{99×101+1}{99×101}$），
=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{1}{1×3}$+1+$\frac{1}{3×5}$+1+$\frac{1}{5×7}$+…+1+$\frac{1}{99×101}$），
=$\frac{1}{4}$[50+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$）]，
=$\frac{1}{4}$[50+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{101}$）]，
=$\frac{1}{4}$（50+$\frac{1}{2}$×$\frac{100}{101}$），
=$\frac{25}{2}$+$\frac{25}{202}$，
=$\frac{2525}{202}$+$\frac{25}{202}$，
=$\frac{1275}{101}$．

点评 此题考查了有理数的混合运算，此题需要利用简便方法将原式变形得出结论，要明确几个式子的关系：①2²=1×3+1，4²=3×5+1，6²=5×7=1…，②$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），…，$\frac{1}{99×101}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$）抓住这些式子的特点，利用有理数法则，从而得出结果．