Question

20、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点，交AD于点G，交AB于点F．（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．

Answer 1

分析：（1）连接OE，证OE⊥BC即可．因为AD⊥BC，所以转证OE∥AD．由AE平分∠BAD，OA=OE易得此结论．
（2）∠EFG=∠GAE=∠EAO=∠AEO．根据已知条件易得∠B=30°，∠EOB=60°．从而求解．

解答：证明：（1）连接OE．
∵AB=AC且D是BC中点，
∴AD⊥BC．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
则∠OEA=∠DAE，
∴OE∥AD，
∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线．

（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠EOB=60°且AE平分∠BAD，
∴∠EAO=∠EAG=30°
又∵∠EFG与∠DAE都对应弧GE
∴∠EFG=∠EAO（同弧所对的圆周角相等）
∴∠EFG=30°．

点评：此题考查了切线的判定、等腰三角形性质等知识点，难度中等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．