Question

23、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠CAB的角平分线分别交BC、CD于点E、F；过点E作EG⊥AB，垂足为G．
（1）求证：CF=CE；
（2）求证：CE：BE=AC：AB；
（3）若AB=10，AC=6，求CF的长．

Answer 1

分析：（1）先由已知证明∴△ACE≌△AGE，得∴∠AEC=∠AEG，再由CD⊥AB，EG⊥AB推出CD∥EG得∠GEF=∠CFE，所以得∠CEF=∠CFE，从而证得CF=CE；
（2）由∠ACB=90°，EG⊥AB，∠B=∠B证明△ACB∽△EGB，得AC：AB=EG：EB，再由（1）△ACE≌△AGE，EG=CE，所以 CE：BE=AC：AB； 
（3）由勾股定理求出CB，再由EC：EB=AC：AB=3：5得出EC，从而求出CF．

解答：解：（1）证明∵AE平分∠CAB，∠ACB=90°，ED⊥AB
∴EG=CE
∴△ACE≌△AGE
∴∠AEC=∠AEG
∵CD⊥AB，EG⊥AB
∴CD∥EG
∴∠GEF=∠CFE
∴∠CEF=∠CFE
∴CF=CE

（2）证明∵∠ACB=90°，EG⊥AB，∠B=∠B
∴△ACB∽△EGB
∴AC：AB=EG：EB
∵EG=CE
∴CE：BE=AC：AB 

（3）∵∠ACB=90°，AB=10，AC=6
∴CB=8
∵EC：EB=AC：AB=3：5
∴EC=3
∴CF=EC=3．

点评：此题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，关键是通过三角形全等和相似解题．