Question

如图，一次函数y=x-2的图象分别交y轴、x轴于A、B两点，二次函数y=x²+bx+c的图象过A、B两点．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第四象限交直线AB于点M，交二次函数的图象于点N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

Answer 1

解：（1）令x=0，则y=-2，
令y=0，则x-2=0，解得x=4，
所以，点A（0，-2），B（4，0），
∵二次函数y=x²+bx+c的图象过A、B两点，
∴，
解得，
∴这个二次函数的关系式y=x²-x-2；

（2）由题意得，MN=t-2-（t²-t-2），
=-t²+4t，
=-（t-2）²+4，
∴当t=2时，MN有最大值4；

（3）如图，①AM是对角线时，AD=MN=4，
∴OD=4-2=2，
此时点D₁（0，2），
②AN是对角线时，AD=MN=4，
∴OD=4+2=6，
此时点D₂（0，-6），
③MN是对角线时，点M的坐标为（2，-1），N（2，-5），
线段MN的中点坐标为（2，-3），
∵点A（0，-2），
∴点D₃的横坐标为2×2-0=4，
纵坐标为2×（-3）-（-2）=-6+2=-4，
此时，点D₃（4，-4），
综上所述，点D₁（0，2），D₂（0，-6），D₃（4，-4）时，以A、M、N、D为顶点的四边形是平行四边形．
分析：（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式；
（2）根据直线和二次函数的解析式表示出MN，然后利用二次函数的最值问题解答；
（3）分AM、AN是对角线时，根据平行四边形的对边相等求AD=MN，然后求出OD的长度，再写出点D的坐标即可；MN是对角线时，求出MN的中点坐标，再根据中心对称写出点D的坐标即可．
点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，平行四边形的对边平行且相等的性质，平行四边形的中心对称性，难点在于（3）分情况讨论．