如图.O是等边△ABC内一点.OA=3.OB=4.OC=5.将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′.下列结论:①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到,②点O与O′的距离为4,③四边形AO BO′的面积为6+3$\sqrt{3}$ ④∠AOB=150°,⑤S△AOC+S△AOB=6+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．其中正确的结论是( )A．②③④� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．

如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
②点O与O′的距离为4；
③四边形AO BO′的面积为6+3$\sqrt{3}$
④∠AOB=150°；
⑤S_△AOC+S_△AOB=6+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
其中正确的结论是（　　）

A．

②③④⑤

B．

①③④⑤

C．

①②③⑤

D．

①②④⑤

分析证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论④正确；
S_{四边形AOBO′}=S_△AOO′+S_△OBO′=6+4$\sqrt{3}$，故结论③错误；
如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S_△AOC+S_△AOB转化为S_△COO″+S_△AOO″，计算可得结论⑤正确．

解答解：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
在△BO′A和△BOC中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=OB'}\\{∠1=∠3}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△BO′A≌△BOC（SAS），
又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图①，连接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′=OB=4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A=OC=5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故结论④正确；
S_{四边形AOBO′}=S_△AOO′+S_△OBO′=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²=6+4$\sqrt{3}$，
故结论③错误；
如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．
∵△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，
则S_△AOC+S_△AOB=S_{四边形AOCO″}=S_△COO″+S_△AOO″=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×3²=6+$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②④⑤．
故选：D．

点评此题是几何变换综合题，主要考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．解本题的关键是判断出△OBO′是等边三角形．

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