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20.已知抛物线y=x2+bx+3与y轴交于点A,与x轴的正半轴交于B、C两点,且BC=4,S△ABC=6,求抛物线的顶点坐标.

分析 根据抛物线y=x2+bx+3与x轴的正半轴交于B、C两点,可设方程x2+bx+c=0的两个根为x1,x2,可求出b值,进而求出抛物线的顶点坐标.

解答 解:∵该抛物线与x轴的正半轴交于B、C两点,
∴设方程x2+bx+c=0的两个根为x1,x2
∴x1+x2=-b,x1x2=3,
∵BC=4=|x1-x2|.
∴|x1-x2|=$\sqrt{({x}_{1}-{x}_{2})^{2}}$=$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4,
∴16=b2-12,
∵x1+x2=-b>0
∴b<0
∴b=-2$\sqrt{7}$,
∴y=x2-2$\sqrt{7}$x+3,
∴抛物线的顶点坐标为($\sqrt{7}$,-4).

点评 此题主要考查一元二次方程与函数的关系及三角形的面积公式,函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根,两者互相转化,要充分运用这一点来解题.

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