Question

20、如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性质，可得到∠B=∠C，D又是BC的中点，利用AAS，可证出：△BED≌△CFD．
（2）利用（1）的结论可知，DE=DF，再加上三个角都是直角，可证出四边形DFAE是正方形．

解答：证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．（1分）
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．（1分）
∵D是BC的中点，
∴BD=CD．（1分）
∴△BED≌△CFD．（1分）

（2）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°．
∵∠A=90°，
∴四边形DFAE为矩形．（2分）
∵△BED≌△CFD，
∴DE=DF．
∴四边形DFAE为正方形．（2分）

点评：本题利用了全等三角形的判定和性质以及矩形、正方形的判定．