【题目】如图,平面直角坐标系中,直线AB:y=kx+3(k≠0)交x轴于点A(4,0),交y轴正半轴于点B,过点C(0,2)作y轴的垂线CD交AB于点E,点P从E出发,沿着射线ED向右运动,设PE=n.
(1)求直线AB的表达式;
(2)当△ABP为等腰三角形时,求n的值;
(3)若以点P为直角顶点,PB为直角边在直线CD的上方作等腰Rt△BPM,试问随着点P的运动,点M是否也在直线上运动?如果在直线上运动,求出该直线的解析式;如果不在直线上运动,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x+3;(2)n=或+或﹣+2;(3)在直线上,理由见解析
【解析】
(1)将点A的坐标代入直线AB:y=kx+3并解得:k=﹣,即可求解;
(2)分AP=BP、AP=AB、AB=BP三种情况,分别求解即可;
(3)证明△MHP≌△PCB(AAS),求出点M(n+,n+),即可求解.
(1)将点A的坐标代入直线AB:y=kx+3并解得:k=﹣,
故AB的表达式为:y=﹣x+3;
(2)当y=2时,x=,故点E(,2),则点P(n+,2),
而点A、B坐标分别为:(4,0)、(0,3),
则AP2=(+n﹣4)2+4;BP2=(n+)2+1,AB2=25,
当AP=BP时,(+n﹣4)2+4=(n+)2+1,解得:n=;
当AP=AB时,同理可得:n=(不合题意值已舍去);
当AB=BP时,同理可得:n=﹣+2;
故n=或+或﹣+2;
(3)在直线上,理由:
如图,过点M作MD⊥CD于点H,
∵∠BPC+∠PBC=90°,∠BPC+∠MPH=90°,
∴∠CPB=∠MPH,BP=PM,∠MHP=∠PCB=90°
∴△MHP≌△PCB(AAS),
则CP=MH=n+,BC=1=PH,
故点M(n+,n+),
n++1= n+,
故点M在直线y=x+1上.
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【题目】任何一个正整数n都可以进行这样的分解:n=s×t(s,t是正整数,且s≤t),如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解,并规定:、例如18可以分解成1×18,2×9,3×6这三种,这时就有.给出下列关于F(n)的说法:(1);(2);(3)F(27)=3;(4)若n是一个整数的平方,则F(n)=1.其中正确说法的有_____.
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【题目】下列正确的选项是( )
A.命题“同旁内角互补”是真命题
B.“作线段AC”这句话是命题
C.“对顶角相等”是定义
D.说明命题“若x>y,则a2x>a2y”是假命题,只能举反例a=0
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【题目】在中,,,点为的中点.
(1)如图;为线段上任意一点,将线段绕点顺时针方向旋转得到线段DF,连结CF,过点作,交直线于点.
①若,求的度数;
②判断与的数量关系并加以证明.
(2)如图,若为线段的延长线上任意一点,(1)中的其他条件不变,你在(1)②中得出的结论是否发生改变,给出证明.
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【题目】在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,△ABC的顶点都在格点上(网格线的交点).
(1)请在如图所示的网格平面内建立适当的平面直角坐标系,使点A坐标为(﹣1,2),点B的坐标为(﹣5,2);(画出直角坐标系)
(2)点C的坐标为( , )(直接写出结果)
(3)把△ABC先向下平移6个单位后得到对应的△A1B1C1,再将△A1B1C1沿y轴翻折至△A2B2C2;
①请在坐标系中画出△A2B2C2;
②若点P(m,n)是△ABC边上任意一点,P2是△A2B2C2边上与P对应的点,写出点P2的坐标为( , );(直接写出结果)
③试在y轴上找一点Q,使得点Q到A2,C2两点的距离之和最小,此时,QA2+QC2的长度之和最小值为 .(在图中画出点Q的位置,并直接写出最小值答案)
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【题目】如图,已知矩形 OABC,以点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系,其中 A(2,0), C(0,3),点 P 以每秒 1 个单位的速度从点 C 出发在射线 CO 上运动,连接 BP,作 BE⊥PB 交 x 轴于点 E,连接 PE 交 AB 于点 F,设运动时间为 t 秒.
(1)当 t=2 时,求点 E 的坐标;
(2)在运动的过程中,是否存在以 P、O、E 为顶点的三角形与△PCB 相似.若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】阅读下面的材料,然后解答问题:
我们新定义一种三角形,两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.
(1)理解并填空:
①根据奇异三角形的定义,请你判断:等边三角形一定是奇异三角形吗? (填“是”或“不是”)
②若某三角形的三边长分别为1、、2,则该三角形 (填“是”或“不是”)奇异三角形.
(2)探究:在中,两边长分别是,且,,则这个三角形是否是奇异三角形?请说明理由.
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【题目】已知,是关于的方程的两实根,实数、、、的大小关系可能是( )
A. α<a<b<β B. a<α<β<b C. a<α<b<β D. α<a<β<b
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