Question

如图，将抛物线y=

1

3

x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，对称轴与抛物线y=

1

3

x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：连结OQ、OP，如图，先利用交点时写出平移后的抛物线m的解析式，再用配方得到顶点式y=（x+3）²-9，则P点坐标为（-3，-9），抛物线m的对称轴为直线x=-3，于是可计算出Q点的坐标为（-3，3），所以点Q与P点关于x轴对称，于是得到图中阴影部分的面积，然后根据三角形面积公式计算．

解答：解：如图，连结OQ、OP，
平移后的抛物线解析式为y=（x+6）•x=x²+6x=（x+3）²-9，
所以P点坐标为（-3，-9），
抛物线m的对称轴为直线x=-3，
当x=-3时，y=

1

3

x²=3，则Q点的坐标为（-3，3），
由于抛物线y=

1

3

x²向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到抛物线y=（x+3）²-9，
所以图中阴影部分的面积=S_△OPQ=

1

2

×3×（3+3）=9．
故答案为9．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．