Question

如图，梯形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、B、C的坐标分别为
（14，0）、（14，3）、（4，3）．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，点P沿OA以每秒1个单位向终点A运动，点Q沿OC、CB以每秒2个单位向终点B运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
（1）设从出发起运动了x秒，当x等于多少时，四边形OPQC为平行四边形？
（2）四边形OPQC能否成为等腰梯形？说明理由．

Answer 1

分析：（1）由A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）．可得OC=

32+42

=5，BC=14-4=10，OA=14，又由当点Q在BC上，且OP=CQ时，四边形OPQC为平行四边形，即可得方程：2x-5=x，解此方程即可求得答案；
（2）首先过点C作CE⊥OA于点E，过点Q作QF⊥OP于点F，由当OP=CQ+OE+OF时，四边形OPQC成为等腰梯形，即可得方程：x=4+（2x-5）+4，解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）∵A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）．
∴OC=

32+42

=5，BC=14-4=10，OA=14，
∵BC∥OA，
∴当点Q在BC上，且OP=CQ时，四边形OPQC为平行四边形，
∴2x-5=x，
解得x=5；
∴当x等于5时，四边形OPQC为平行四边形；

（3）不能，
理由：过点C作CE⊥OA于点E，过点Q作QF⊥OP于点F，
∵AO∥BC，
∴CE=QF，
当OE=PF=4时，△OCE≌△PQF（SAS），
此时四边形OPQC成为等腰梯形，
即OP=CQ+OE+OF，
∴x=4+（2x-5）+4，
解得x=-3（舍去），
∴四边形OPQC不能成为等腰梯形．

点评：此题考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等腰梯形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．