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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(3,0),B(4,1)两点,且与y轴交于点C.

(1)求抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的函数关系式及点C的坐标;
(2)如图(1),连接AB,在题(1)中的抛物线上是否存在点P,使△PAB是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图(2),连接AC,E为线段AC上任意一点(不与A、C重合)经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F,当△OEF的面积取得最小值时,求点E的坐标.

【答案】
(1)

解:∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(3,0),B(4,1)两点,

解得:

∴y= x2 x+3;

∴点C的坐标为:(0,3)


(2)

解:假设存在,分两种情况:

①当△PAB是以A为直角顶点的直角三角形,且∠PAB=90°,

如图1,过点B作BM⊥x轴于点M,设D为y轴上的点,

∵A(3,0),B(4,1),

∴AM=BM=1,

∴∠BAM=45°,

∴∠DAO=45°,

∴AO=DO,

∵A点坐标为(3,0),

∴D点的坐标为:(0,3),

∴直线AD解析式为:y=kx+b,将A,D分别代入得:

∴0=3k+b,b=3,

∴k=﹣1,

∴y=﹣x+3,

∴y= x2 x+3=﹣x+3,

∴x2﹣3x=0,

解得:x=0或3,

∴y=3,y=0(不合题意舍去),

∴P点坐标为(0,3),

∴点P、C、D重合,

②当△PAB是以B为直角顶点的直角三角形,且∠PBA=90°,

如图2,过点B作BF⊥y轴于点F,

由(1)得,FB=4,∠FBA=45°,

∴∠DBF=45°,

∴DF=4,

∴D点坐标为:(0,5),B点坐标为:(4,1),

∴直线BD解析式为:y=kx+b,将B,D分别代入得:

∴1=4k+b,b=5,

∴k=﹣1,

∴y=﹣x+5,

∴y= x2 x+3=﹣x+5,

∴x2﹣3x﹣4=0,

解得:x1=﹣1,x2=4(舍),

∴y=6,

∴P点坐标为(﹣1,6),

∴点P的坐标为:(﹣1,6),(0,3);


(3)

解:如图3:作EM⊥AO于M,

∵直线AC的解析式为:y=﹣x+3,

∴tan∠OAC=1,

∴∠OAC=45°,

∴∠OAC=∠OAF=45°,

∴AC⊥AF,

∵SFEO= OE×OF,

OE最小时SFEO最小,

∵OE⊥AC时OE最小,

∵AC⊥AF

∴OE∥AF

∴∠EOM=45°,

∴MO=EM,

∵E在直线CA上,

∴E点坐标为(x,﹣x+3),

∴x=﹣x+3,

解得:x=

∴E点坐标为( ).


【解析】(1)根据A(3,0),B(4,1)两点利用待定系数法求二次函数解析式;(2)从当△PAB是以A为直角顶点的直角三角形,且∠PAB=90°与当△PAB是以B为直角顶点的直角三角形,且∠PBA=90°,分别求出符合要求的答案;(3)根据当OE∥AB时,△FEO面积最小,得出OM=ME,求出即可.

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