【题目】已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(3,0),B(4,1)两点,且与y轴交于点C.
(1)求抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的函数关系式及点C的坐标;
(2)如图(1),连接AB,在题(1)中的抛物线上是否存在点P,使△PAB是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图(2),连接AC,E为线段AC上任意一点(不与A、C重合)经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F,当△OEF的面积取得最小值时,求点E的坐标.
【答案】
(1)
解:∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(3,0),B(4,1)两点,
∴ ,
解得: ,
∴y= x2﹣ x+3;
∴点C的坐标为:(0,3)
(2)
解:假设存在,分两种情况:
①当△PAB是以A为直角顶点的直角三角形,且∠PAB=90°,
如图1,过点B作BM⊥x轴于点M,设D为y轴上的点,
∵A(3,0),B(4,1),
∴AM=BM=1,
∴∠BAM=45°,
∴∠DAO=45°,
∴AO=DO,
∵A点坐标为(3,0),
∴D点的坐标为:(0,3),
∴直线AD解析式为:y=kx+b,将A,D分别代入得:
∴0=3k+b,b=3,
∴k=﹣1,
∴y=﹣x+3,
∴y= x2﹣ x+3=﹣x+3,
∴x2﹣3x=0,
解得:x=0或3,
∴y=3,y=0(不合题意舍去),
∴P点坐标为(0,3),
∴点P、C、D重合,
②当△PAB是以B为直角顶点的直角三角形,且∠PBA=90°,
如图2,过点B作BF⊥y轴于点F,
由(1)得,FB=4,∠FBA=45°,
∴∠DBF=45°,
∴DF=4,
∴D点坐标为:(0,5),B点坐标为:(4,1),
∴直线BD解析式为:y=kx+b,将B,D分别代入得:
∴1=4k+b,b=5,
∴k=﹣1,
∴y=﹣x+5,
∴y= x2﹣ x+3=﹣x+5,
∴x2﹣3x﹣4=0,
解得:x1=﹣1,x2=4(舍),
∴y=6,
∴P点坐标为(﹣1,6),
∴点P的坐标为:(﹣1,6),(0,3);
(3)
解:如图3:作EM⊥AO于M,
∵直线AC的解析式为:y=﹣x+3,
∴tan∠OAC=1,
∴∠OAC=45°,
∴∠OAC=∠OAF=45°,
∴AC⊥AF,
∵S△FEO= OE×OF,
OE最小时S△FEO最小,
∵OE⊥AC时OE最小,
∵AC⊥AF
∴OE∥AF
∴∠EOM=45°,
∴MO=EM,
∵E在直线CA上,
∴E点坐标为(x,﹣x+3),
∴x=﹣x+3,
解得:x= ,
∴E点坐标为( , ).
【解析】(1)根据A(3,0),B(4,1)两点利用待定系数法求二次函数解析式;(2)从当△PAB是以A为直角顶点的直角三角形,且∠PAB=90°与当△PAB是以B为直角顶点的直角三角形,且∠PBA=90°,分别求出符合要求的答案;(3)根据当OE∥AB时,△FEO面积最小,得出OM=ME,求出即可.
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【题目】如图,在中,,BD为AC的中线,过点C作于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接 BG,DF.若AF=8,CF=6,则四边形BDFG的周长为_______________.
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【题目】“六一”儿童节前,某玩具商店根据市场调查,用2500元购进一批儿童玩具,上市后很快脱销,接着又用4500元购进第二批这种玩具,所购数量是第一批数量的1.5倍,但每套进价多了10元.
(1)求第一批玩具每套的进价是多少元?
(2)如果这两批玩具每套售价相同,且全部售完后总利润不低于25%,那么每套售价至少是多少元?
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【题目】某校组织学生到距离学校6千米的科技馆去参观,小华因事没能乘上学校的包车,于是准备在学校门口改乘出租车去科技馆,出租车收费标准有两种类型,如下表:
里程 | 甲类收费(元) | 乙类收费(元) |
3千米以下(包含3千米) | 7.00 | 6.00 |
3千米以上,每增加1千米 | 1.60 | 1.40 |
(1)设出租车行驶的里程为x千米(且x取正整数),分别写出两种类型的总收费(用含x的代数式表示);
(2)小华身上仅有11元,他乘出租车到科技馆车费够不够请说明理由.
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【题目】如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=70°,∠C=40°,过点D作DE∥AB交BC于点E,若AD=3,BC=10,则CD的长是________。
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【题目】“十·一”黄金周期间,武汉动物园在7天假期中每天旅游的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数,负数表示比前一天少的人数)
日期 | 10月1日 | 10月2日 | 10月3日 | 10月4日 | 10月5日 | 10月6日 | 10月7日 |
人数变化单位:万人 | +1.6 | +0.8 | +0.4 | -0.4 | -0.8 | +0.2 | -1.2 |
(1)若9月30日的游客人数记为,请用的代数式表示10月2日的游客人数?
(2)请判断七天内游客人数最多的是哪天?请说明理由。
(3)若9月30日的游客人数为2万人,门票每人10元。问黄金周期间武汉动物园门票收入是多少元?
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(2,0),等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD.
(1)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD,则平移的距离是___个单位长度;△AOC与△BOD关于直线对称,则对称轴是___;△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB,则旋转角度可以是___度;
(2)连结AD,交OC于点E,求∠AEO的度数。
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【题目】为体现社会对教师的尊重,教师节这天上午,出租车司机小王在东西走向的公路上免费接送老师.如果规定向东为正,向西为负,出租车的行程如下.(单位:千米)+15,﹣4,+13,﹣10,﹣12,+3,﹣13,﹣17
(1)当最后一名老师到达目的地时,小王距离开始接送第一位老师之前的地点的距离是多少?
(2)若出租车的耗油量为0.4升/千米,这天上午出租车共耗油多少升?
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