Question

如图，△OAB中，OA=OB，∠A=30°，⊙O经过AB的中点E分别交OA、OB于C、D两点，连接CD．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）求证：CD∥AB．
（3）若CD=4

3

，求扇形OCED的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OE交CD于F，证OE⊥AB即可．根据等腰三角形性质易证；
（2）可求∠O=120°，∠OCD=30°=∠A，得证；
（3）关键在求半径的长．证OE⊥CD，根据垂径定理和三角函数可求半径．根据扇形面积公式计算求解．

解答：（1）证明：连接OE交CD于F．
∵OA=OB，E是AB的中点，
∴OE⊥AB．
∴AB是⊙O的切线．

（2）证明：在△OAB，△OCD中，
∠COD=∠AOB，CO=OD，OA=OB，
∴∠OCD=

180°-∠COD

2

，∠OAB=

180°-∠AOB

2

，
∴∠OCD=∠OAB，
∴CD∥AB；

（3）解：∵CD∥AB，∠A=30°，OE⊥AB，CD=4

3

，
∴∠OCD=30°，OE⊥CD，CF=

1

2

CD=2

3

，∠COD=120°．
OC=

CF

cos∠OCD

=

2 3

3 2

=4．
S_扇形OCED=

120π•16

360

=

16

3

π．

点评：此题考查了切线的判定、扇形的面积计算等知识点，难度中等．