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2.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的n倍,得△AB′C′,即如图①,∠BAB′=8,$\frac{AB′}{AB}$=$\frac{B′C′}{BC}$=$\frac{AC′}{AC}$=n,我们将这种变换记为[θ,n]

(1)如图1,△ABC 中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′,使点B,C,C′在同一条直线上,且四边形ABB′C′为矩形,求θ和n的值;
(2)如图2,△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,对△ABC做变换[θ,n]△AB′C′,使得点B,C,B′在同一直线上,且四边形ABB′C′为平行四边形,求θ和n的值;
(3)如图3,△ABC中,CB=AC=2,AB=3,∠BAC=40°,对△ABC做变换[θ,n]△ADE,使得点B,C,E在同一直线上,且四边形ABDE为等腰梯形(AE∥BD),求①θ和n的值;②BE的长.

分析 (1)由四边形 ABB′C′是矩形,可得∠BAC′=90°,然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC,即可求得θ的度数,又由含30°角的直角三角形的性质,即可求得n的值;
(2)由四边形ABB′C′是平行四边形,易求得θ=∠CAC′=∠ACB=75°,又由△ABC∽△B′BA,根据相似三角形的对应边成比例,易得AB2=CB•BB′=CB(BC+CB′),继而求得答案.
(3)由四边形ABDE为等腰梯形,易求得θ=∠CAE=60°,又由△ABC∽△ADE,根据相似三角形的对应边成比例,易得$\frac{AB}{AD}=\frac{AB}{AC}$,继而求得答案.

解答 解:(1)∵四边形 ABB′C′是矩形,
∴∠BAC′=90°.
∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90-30=60°.
在 Rt△ABB′中,∠ABB'=90°,∠BAB′=60°,
∴∠AB′B=30°,
∴n=$\frac{A{B}^{'}}{AB}$=2;
(2)∵四边形ABB′C′是平行四边形,
∴AC′∥BB′,
又∵∠BAC=30°,
∴θ=∠CAC′=∠AC′B′=75°.
∴∠BB′A=∠BAC=30°,而∠B=∠B,
∴△ABC∽△B′BA,
∴AB:BB′=CB:AB,
∴AB2=CB•BB′=CB(BC+CB′),
而 CB′=AC=AB=B′C′,BC=1,
∴AB2=1(1+AB),
∴AB=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$,
∵AB>0,
∴n=$\frac{{B}^{'}{C}^{'}}{BC}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$;
(3)∵四边形ABDE是等腰梯形,
∴AE∥BD,
又∵∠BAC=40°,CB=AC,
∴θ=∠CAE=180°-40°-40°-40°=60°.
∴∠EAD=∠BAC=40°,而∠ABC=∠ADE=40°,
∴△ABC∽△ADE,
∴AB:AD=AC:AE,
∵AB=DE=AE=3,AC=2,
∴AD=AB2÷AC=9÷2=4.5,
∴BE=AD=4.5,
∴n=$\frac{AD}{AB}=\frac{4.5}{3}=1.5$.

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、旋转的性质、矩形的性质以及平行四边形的性质.此题综合性较强,难度较大,注意数形结合思想与方程思想的应用,注意辅助线的作法.

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