Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，以AB为直径的⊙O交AC于D，E是BC的中点，连接ED并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求BD的长；
（3）求tan∠ADF的值．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结OD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再利用直角三角形斜边上的中线性质得到DE=EB=EC，再利用等腰三角形的性质得∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，则∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，即∠ODE=90°，然后根据切线的判定定理即可得到DE是⊙O的切线；
（2）先利用勾股定理计算出AC=10，然后利用面积法计算BD；
（3）在Rt△ABC中利用正切的定义得到tanC=

3

4

，再由EC=ED得到∠C=∠CDE，加上∠CDE=∠ADF，则∠ADF=∠C，于是可得到tan∠ADF的值．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠CDB=90°
又∵E为BC的中点，
∴DE=EB=EC，
∴∠EDB=∠EBD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠ABC=90°，
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∵AB=6，BC=8，
∴AC=

AB2+BC2

=10，
∵

1

2

BD•AC=

1

2

AB•BC，
∴BD=

6×8

10

=

24

5

；
（3）解：在Rt△ABC中，tanC=

AB

BC

=

6

8

=

3

4

，
∵EC=ED，
∴∠C=∠CDE，
而∠CDE=∠ADF，
∴∠ADF=∠C，
∴tan∠ADF=

3

4

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质．