Question

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax²+bx-4（a≠0）的图象与x轴交于A（-2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）先求得直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-4，则可设E（m，$\frac{1}{2}$m-4），然后分三种情况讨论即可求得；
（3）利用△PBD的面积S=S_梯形-S_△BOD-S_△PFD即可求得．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx-4（a≠0）的图象与x轴交于A（-2，0）、C（8，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-4=0}\\{64a+8b-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴该二次函数的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4；

（2）由二次函数y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4可知对称轴x=3，
∴D（3，0），
∵C（8，0），
∴CD=5，
由二次函数y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4可知B（0，-4），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-4，
设E（m，$\frac{1}{2}$m-4），
当DC=CE时，EC²=（m-8）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²=CD²，
即（m-8）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²=5²，解得m₁=8-2$\sqrt{5}$，m₂=8+2$\sqrt{5}$（舍去），
∴E（8-2$\sqrt{5}$，-$\sqrt{5}$）；
当DC=DE时，ED²=（m-3）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²=CD²，
即（m-3）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²=5²，解得m₃=0，m₄=8（舍去），
∴E（0，-4）；
当EC=DE时，（m-8）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²=（m-3）²+（$\frac{1}{2}$m-4）²解得m₅=5.5，
∴E（$\frac{11}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（8-2$\sqrt{5}$，-$\sqrt{5}$）、（0，-4）、（$\frac{11}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．

（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，
∵P点的横坐标为m，
∴P点的纵坐标为$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4，
∵△PBD的面积S=S_梯形-S_△BOD-S_△PFD=$\frac{1}{2}$m[4-（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）]-$\frac{1}{2}$（m-3）[-（$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m-4）]-$\frac{1}{2}$×3×4
=-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{17}{4}$m=-$\frac{3}{8}$（m-$\frac{17}{3}$）²+$\frac{289}{24}$
∴当m=$\frac{17}{3}$时，△PBD的最大面积为$\frac{289}{24}$，
∴点P的坐标为（$\frac{17}{3}$，-$\frac{161}{36}$）．

点评 此题考查了学生的综合应用能力，要注意数形结合，认真分析，仔细识图．注意待定系数法求函数的解析式，注意函数交点坐标的求法，注意三角形面积的求法．