Question

在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB边的中线，若将△ABC沿CD对折起来，折叠后两个小三角形ACD与三角形BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的，有如下结论：①AC边的长可以等于a；②折叠前的△ABC的面积可以等于；③折叠后，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等，其中，正确结论有________个．

Answer 1

3
分析：①假设AC=a成立，根据等腰三角形的性质及图形折叠的性质可求出四边形AB₁DC为平行四边形，再根据平行四边形的性质及三角形的面积公式求解；
②假设S_△ABC=成立，再由△ABC的面积公式可求出AC=a，根据三角形的三边关系可求出∠B=60°，由平行四边形的判定定理可求出四边形AB₂CD为平行四边形，再根据平行四边形的性质及三角形的面积公式求解；
③综合①②可知，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等．
解答：解：对于结论①，若AC=a成立，如图（一），在△ACD中，由∠CAD=30°，AD=a，
∴∠ADC=（180°-∠CAD）=75°，∠CDB=180°-∠ADC=105°，而∠CDB₁=∠CDB
∴∠B₁DA=105°-75°=30°，
∴AC∥B₁D，
∵B₁D=BD=a=AC，
∴四边形AB₁DC为平行四边形．
∴S_△CED=S_△ACD=S_△ABC，满足条件，即AC的长可以等于a，故①正确；
对于结论②，若S_△ABC=，
∵S_△ABC=AB•AC•sin∠CAB，
∴AC=a，
∵AC=a，∠B=60°，如图（二），
∴∠CDB=60°=∠DCB₂，
∴AD∥B₂C，
又∵B₂C=BC=a=AD，
∴四边形AB₂CD为平行四边形，
∴S_△CFD=S_△ACD=S_△ABC，满足条件，即S_△ABC的值可以等于，故②正确；
对于结论③，由平行四边形AB₁CD或平行四边形AB₂CD，显然成立，故③正确．
点评：本题考查的是翻折变换的性质及平行四边形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．