分析 (1)先判断出∠CBE=∠D,进而得出∠DCF=∠BCE,从而判断出△DCF≌△BCE,即可;
(2)先判断出∠MNH=∠GBH,得出△HNM≌△HGB,即可得出HN=HB,MN=GB,进而判断出NC=BH=$\frac{1}{2}$BN
即可;
(3)先求出BN=2($\sqrt{3}$+1),再利用勾股定理求出PH=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$,BC=3+$\sqrt{3}$,最后用面积的差即可得出结论.
解答 解:(1)证明:如题干图1,
∵四边形ABCD是正方形
∴CD=BC,∠D=∠DCB=∠ABC=90°,
∴∠CBE=180°-90°=90°,
∴∠CBE=∠D
∵CF⊥EC,
∴∠ECF=90°,
∴∠ECF-∠BCF=∠BCD-∠BCF,
∴∠DCF=∠BCE,
∴△DCF≌△BCE,
∴EC=FC,
(2)∠ABH=60°,
理由:如图2,延长BH交CD于N,
∵H是MG的中点,
∴HM=HG
在正方形ABCD中,DC∥AB,
∴∠MNH=∠GBH,∠NMH=∠BGH,
∴△HNM≌△HGB,
∴HN=HB,MN=GB,
∵BH=GB+MC,
∴NC=BH=$\frac{1}{2}$BN,
∴∠NBC=30°,
∴∠ABH=90°-30°=60°
(3)如图3:延长BH交CD于N作HP⊥AB于P.
∴∠HPB=90°,
∴∠PHB=90°-60°=30°
由(2)得:BH=CN=GB+MC=1+$\sqrt{3}$
∴BN=2($\sqrt{3}$+1),
由勾股定理得:PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$($\sqrt{3}$+1)=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$,BC=$\sqrt{3}$($\sqrt{3}$+1)=3+$\sqrt{3}$,
∴S四边形AHMD=S四边形ABND-S△AGH=$\frac{(2+\sqrt{3}+3)(3+\sqrt{3})}{2}$-$\frac{(\sqrt{3}+2)•\frac{1}{2}(3+\sqrt{3})}{2}$=$\frac{27+11\sqrt{3}}{4}$.
点评 此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,几何图形的面积的求法,解(1)的关键是判断出∠DCF=∠BCE,解(2)的关键是判断出NC=BH=$\frac{1}{2}$BN,解(3)的关键是求出BN=2($\sqrt{3}$+1),是一道中等难度的中考常考题.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 2$\sqrt{3}$ |
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