Question

1．如图，（n+1）个边长为2的等边三角形△B₁AC₁，△B₂C₁C₂、△B₂C₂C₃，…，△B_n+1C_nC_n+1有一条边在同一直线上，设△B₂D₁C₁的面积为S₁，△B₃D₂C₂的面积为S₂，△B₄D₃C₃的面积为S₃，…，△B_n+1D_nC_n的面积为S_n，则S₂₀₁₆=$\frac{2016}{2017}$$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先求出S₁，S₂，S₃，…，探究规律后即可解决问题．

解答 解：由题意可知，S₁=S△B2D1C1=$\frac{1}{2}$S△AC1B2=$\frac{1}{2}$${S}_{△A{C}_{1}{B}_{1}}$，
S₂=S△B3D2C2=$\frac{1}{3}$S△AC2B3=$\frac{2}{3}$S△AC1B1，
S₃=S△B4D3C3=$\frac{1}{4}$S△AC3B4=$\frac{3}{4}$S△AC1B1，
…，
所以S_n=$\frac{n}{n+1}$${S}_{△A{C}_{1}{B}_{1}}$，
∵${S}_{△A{C}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•2²=$\sqrt{3}$，
∴n=2016时，
S₂₀₁₆=$\frac{2016}{2017}$$\sqrt{3}$．
故答案为$\frac{2016}{2017}$$\sqrt{3}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型．