Question

如图，直角坐标系中，已知A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发，沿BO向终点O移动；动点Q从点A点出发，沿AB向终点B移动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位．设从出发起运动了x秒．
（1）点P的坐标是（______，______）；
（2）点Q的坐标是（______，______）；
（3）x为何值时，△APQ是以AP为腰的等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据P的行走路程可以计算P的坐标；
（2）根据勾股定理分别求Q的横坐标和纵坐标；
（3）根据勾股定理计算AP、AQ的长度，当AP=AQ时，可得△APQ是以AP为腰的等腰三角形．
解答：解：（1）x秒点P行走的距离为x，则OP=5-x，
故点P的坐标是（5-x，0）；

（2）作AD⊥OB，QE⊥OB，则△BAD∽△BQE，

即=，=，
∵AD=4，OD=2，OB=5，
∴BD=3，
∴AB=5，
在x秒Q点行走距离为x，则AQ=x，BQ=5-x，
∴，，
∴BE=3-x，QE=4-x，
∴OE=OB-BE=5-（3-x）=2+，
则点Q的坐标是（2+，4-）；

（3）由题意，AP²=（5-x-2）²+4²=x²-6x+25，
AQ²=+=x²，
PQ²=+
=-16x+25．
若AP=AQ，则x=；
若AP=PQ，则x₁=，x₂=0（舍去）
故x=或秒时，△APQ是以AP为腰的等腰三角形．
故答案为（1）点P的坐标是（5-x，0）；（2）点Q的坐标是（2+，4-）；（3）x=或秒时，△APQ是以AP为腰的等腰三角形．
点评：本题考查了平面直角坐标系中坐标的计算，考查了勾股定理在平面直角坐标系中的运用，本题中根据AP和AQ的表达式和AP=AQ计算x的值是解题的关键．