Question

7．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形ABCD使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E、G，连接GF，有下列结论：①∠AGD=122.5°；②$\frac{AD}{AE}=2$；③BE=2OG；④DG=2EG；⑤AC-AD=EF，其中正确的序号是（　　）

• A． ①③⑤
• B． ①②③
• C． ③④
• D． ③⑤

Answer 1

分析 ①根据折叠的性质我们能得出∠ADG=∠ODG，也就求出了∠ADG的度数，那么在三角形AGD中用三角形的内角和即可求出∠AGD的度数；
②由tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$，AE=EF＜BE，即可求得tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$＞2，即可得②错误；
③我们可通过相似三角形DEF和DOG得出EF和OG的比例关系，然后再在直角三角形BEF中求出BE和EF的关系，进而求出BE和OG的关系；
④通过△DOG∽△DFE，得到$\frac{DG}{DE}=\frac{OG}{EF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得出DG=（$\sqrt{2}$-1）EG，
⑤根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，
∴∠GAD=45°，∠ADG=$\frac{1}{2}$∠ADO=22.5°，
∴∠AGD=112.5°，
∴①错误．
∵tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$，AE=EF＜BE，
∴AE＜$\frac{1}{2}$AB，
∴tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$＞2，
∴AD＞2AE，
∴②错误．
∵在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中，BE²=2EF²=2GF²=2×2OG²，
∴BE=2OG．
∴③正确．
根据题意可得：AE=EF，AG=FG，
又∵EF∥AC，
∴∠FEG=∠AGE，
又∵∠AEG=∠FEG，
∴∠AEG=∠AGE
∴AE=AG=EF=FG，
∴EF=FG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OG，
∵EF⊥BD，AO⊥BD，
∴EF∥AC，
∴△DOG∽△DFE，
∴$\frac{DG}{DE}=\frac{OG}{EF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴DG=（$\sqrt{2}$-1）EG，
∴④错误．
∵AC-AD=$\sqrt{2}$AD-AD=（$\sqrt{2}$-1）AD，
∵EF=AB-BE=AD-BE=AD-$\sqrt{2}$EF，
∴EF=（$\sqrt{2}$-1）AD，
∴AC-AD=EF，
∴⑤正确．
故选D．

点评 本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质等知识点，根据折叠的性质的角和边相等是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．