Question

11．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过Rt△ABC斜边AB的中点M 及顶点B，点C在y轴正半轴上，连结MC并延长与x轴交于点E．
（1）若点M的坐标为（2，3），则点B的坐标为（4，1.5）；
（2）若k=7，则△AEC的面积为3.5．

Answer 1

分析 （1）根据点M（2，3）求得反比例函数解析式，由M为AB中点得点B横坐标，继而由函数解析式可得其纵坐标，即可得答案；
（2）设点M的坐标为（a，$\frac{7}{a}$），则点B的坐标为（2a，$\frac{7}{2a}$）、点C（0，$\frac{7}{2a}$）、点A（0，$\frac{21}{2a}$），待定系数法求得直线CM解析式为y=$\frac{7}{2{a}^{2}}$x+$\frac{7}{2a}$，继而可得点E的坐标，最后由三角形面积公式可得答案．

解答 解：（1）将点M（2，3）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=6，
∴y=$\frac{6}{x}$，
∵点A的横坐标为0，点M的横坐标为2，且M为AB的中点，
∴点B的横坐标为4，
当x=4时，y=$\frac{6}{4}$=1.5，
即点B的坐标为（4，1.5）；

（2）∵k=7，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{7}{x}$
设点M的坐标为（a，$\frac{7}{a}$），则点B的坐标为（2a，$\frac{7}{2a}$），
∴点C（0，$\frac{7}{2a}$）、点A（0，$\frac{21}{2a}$），
设直线CM解析式为y=kx+b，
将点C（0，$\frac{7}{2a}$）、M（a，$\frac{7}{a}$）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{7}{2a}}\\{ak+b=\frac{7}{a}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{7}{2{a}^{2}}}\\{b=\frac{7}{2a}}\end{array}\right.$，
∴直线CM解析式为y=$\frac{7}{2{a}^{2}}$x+$\frac{7}{2a}$，
当y=0时，$\frac{7}{2{a}^{2}}$x+$\frac{7}{2a}$=0，
解得：x=-a，
则OE=a，
∴△AEC的面积为$\frac{1}{2}$×（$\frac{21}{2a}$-$\frac{7}{2a}$）×a=3.5，
故答案为：3.5．

点评 本题主要考查反比例函数系数k的几何意义及线段中点公式、待定系数法求函数解析式，根据线段中点公式表示出所涉点的坐标是解题的根本，待定系数法求得一次函数解析式得出点E的坐标是解题的关键．