Question

如图，直线l₁与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l₂与直线l₁关于x轴对称，已知直线l₁的解析式为y=x+3，
（1）求直线l₂的解析式；

（2）过A点在△ABC的外部作一条直线l₃，过点B作BE⊥l₃于E，过点C作CF⊥l₃于F，请画出图形并求证：BE+CF=EF；

（3）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交于点M，且BP=CQ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．

Answer 1

分析：（1）根据题意先求直线l₁与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再根据轴对称的性质求直线l₂的上点C的坐标，用待定系数法求直线l₂的解析式；
（2）根据题意结合轴对称的性质，先证明△BEA≌△AFC，再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF=EF；
（3）首先过Q点作QH⊥y轴于H，证明△QCH≌△PBO，然后根据全等三角形的性质和△QHM≌△POM，从而得HM=OM，根据线段的和差进行计算OM的值．

解答：解：（1）∵直线l₁与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（-3，0），B（0，3），
∵直线l₂与直线l₁关于x轴对称，
∴C（0，-3）
∴直线l₂的解析式为：y=-x-3；

（2）如图．
答：BE+CF=EF．
∵直线l₂与直线l₁关于x轴对称，
∴AB=AC，
∵l₁与l₂为象限平分线的平行线，
∴△OAC与△OAB为等腰直角三角形，
∴∠EBA=∠FAC，
∵BE⊥l₃，CF⊥l₃
∴∠BEA=∠AFC=90°
∴△BEA≌△AFC
∴BE=AF，EA=FC，
∴BE+CF=AF+EA=EF；

（3）①对，OM=3
过Q点作QH⊥y轴于H，直线l₂与直线l₁关于x轴对称
∵∠POB=∠QHC=90°，BP=CQ，
又∵AB=AC，
∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ，
则△QCH≌△PBO（AAS），
∴QH=PO=OB=CH
∴△QHM≌△POM
∴HM=OM
∴OM=BC-（OB+CM）=BC-（CH+CM）=BC-OM
∴OM=

1

2

BC=3．

点评：轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．