Question

如图△ABC中，AB的垂直平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于E．则下列结论：①△ADE≌△BDF；②AE=CE+CB；③∠ADB=∠ACB．其中一定成立的个数是（　　）

A．3个

B．2个

C．1个

D．0个

Answer 1

分析：根据条件可以得出△ADE≌△BDF，由全等三角形的性质就可以得出AE=BF，由△CDE≌△CDF就可以得出CE=CF，就可以得出AE=CE+CB，由四边形的内角和可以得出∠ACB=∠FDE，再由等式的性质就可以得出∠ADB=∠EDF而得出结论．

解答：解：∵点D在AB的垂直平分线上，
∴DA=DB．
∵DC平分∠ACF，DE⊥AC于E，DF⊥BC于E．
∴∠AED=∠CED=∠CFD=90°，DE=DF．
在Rt△ADE和Rt△BDF中

AD=BD DE=DF

，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴AF=BF，∠ADE=∠BDF．
在Rt△CDE和Rt△CDF中

CD=CD DE=DF

，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），
∴CE=CF．
∵BF=BC+CF，
∴AE=BC+CE故②正确；
∵∠EDF+∠CED+∠CFD+∠ECF=360°，
∴∠EDF+90°+90°+∠ECF=360°．
∴∠EDF+∠ECF=180°．
∵∠ACB+∠ECF=180°，
∴∠ACB=∠EDF．
∵∠ADE=∠BDF．
∴∠ADE+∠BDE=∠BDF+∠BDE．
即∠ADB=∠FDE，
∴∠ACB=∠ADB．故③正确．
∴正确的有3个．
故选A．

点评：本题考查了全等三角形的额判定与性质的运用，角平分线的性质的运用，线段的处置平分线的性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．