Question

11．已知：如图1，在ABC中，A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，0），（0，2），点M为边BC上的中点，点N为边AB上一点，且N的横坐标为方程2n²+5n-12=0一个根．
（1）求N的坐标和直线MN的解析式．
（2）判断直线MN与BC的位置关系，并说明你的理由．
（3）如图2，①在图2中作出△ABC的外接圆；②过Q（$\frac{5}{2}$，0）作直线l⊥x轴，点P在直线l上，且在第一象限，试确定一个点P，使得∠CPD+∠CAB=180°，求出满足条件的P点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据中点坐标公式，可得M点坐标，根据解方程，可得N点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据两直线的一次项系数的乘积为-1，可得两直线垂直，根据垂线过线段的中点，可得答案；
（3）①根据不在同一条直线上的三点，任意两点所作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即圆心；
②根据四边形的内角和，可得∠PCA=90°，根据余角的性质，可得∠PDC=∠OCA，根据相似三角形的判定与性质，可得CD的长，根据线段的和差，可得OD的长．

解答 解：（1）∵A（1，0），B（4，0），C（0，2），
∴点M为BC上的中点，
∴M（2，1），
由2n²+5n-12=0，得到n=$\frac{-5±\sqrt{121}}{4}$=$\frac{-5±11}{4}$，
解得：n=$\frac{3}{2}$或n=-4（舍去），
∴N（$\frac{3}{2}$，0），
设直线MN解析式为y=kx+b，
把M与N坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+b=0}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
则直线MN解析式为y=2x-3；
（2）设经过B，C两点的直线解析式为y=k₁x+b₁，
把B与C坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4{k}_{1}+{b}_{1}=0}\\{{b}_{1}=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{1}{2}}\\{{b}_{1}=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵直线MN解析式为y=2x-3，
∴直线MN⊥BC，且平分BC；
（3）①由（2）得MN⊥BC，且平分BC，
∵A（1，0），B（4，0），
∴线段AB的中点坐标为（$\frac{5}{2}$，0），即为图中Q点，
∴直线l⊥AB，且平分AB，设与直线MN的交点为S，
∴AS=BS=CS，
则S为△ABC外接圆圆心，画出△ABC，如图所示：；
②∵∠CPQ+∠CAB=180°，∠PQA=90°，
∴∠PCA=360°-（∠CPQ+∠CAB）-∠PQA=90°，
∴PC⊥AC，
如图2：，
过C作PC⊥AC，PC交直线l于P点，过P点作PD⊥y轴于点D，
∴∠PDC=∠COA=∠PCA=90°，
PD=OQ=$\frac{5}{2}$．
∵∠DPC+∠PCD=90°，∠PCD+∠OCA=90°，
∴∠DPC=∠OCA，
∴△PCD∽△CAO，
∴$\frac{PD}{OC}$=$\frac{CD}{OA}$，CD=$\frac{AO•PD}{CO}$=$\frac{1×\frac{5}{2}}{2}$=$\frac{5}{4}$，
OD=OC+CD=2+$\frac{5}{4}$=$\frac{13}{4}$，
P（$\frac{5}{2}$，$\frac{13}{4}$）．

点评 本题考查了一次函数综合题，（1）利用了线段中点的性质，待定系数法求函数解析式；（2）利用线段垂直平分线的判定，利用两直线一次项系数的乘积得出两直线垂直是解题关键；（3）利用了确定圆的条件：两条线短垂直平分线的交点；利用相似三角形的判定与性质得出CD的长是解题关键．