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【题目】如图1A(﹣40).正方形OBCD的顶点Bx轴的负半轴上,点C在第二象限.现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG

1)如图2,若α60°,OEOA,求直线EF的函数表达式.

2)若α为锐角,tanα,当AE取得最小值时,求正方形OEFG的面积.

3)当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时,直线AE与直线FG相交于点P,△OEP的其中两边之比能否为1?若能,求点P的坐标;若不能,试说明理由.

【答案】(1)yx+(2);(3) OEP的其中两边的比能为1,点P的坐标是:P04),P(﹣412),P(﹣1224),P(﹣40),P(﹣124).

【解析】

1)过点EEHOA于点HEFy轴的交点为M,由已知条件证明△AEO为正三角形,求出点E的坐标及OM的长度,再利用EM的坐标即可求出解析式;

2)无论正方形边长为多少,绕点O旋转角α后得到正方形OEFG的顶点E在射线OQ上,当AEOQ时,线段AE的长最小利用α为锐角,tanα及勾股定理求出边长OE2,即可求出正方形的面积;

3)分点Fy轴的正半轴上或负半轴上,且点P与点F或点A重合或不重合时,利用△OEP的两边之比为1分别求出点P的坐标.

1)如图1,过点EEHOA于点HEFy轴的交点为M

OEOAα60°,

∴△AEO为正三角形,

OH2EH2,故点E(﹣22),

EOM30°,OM

EF的函数表达式为:ykx+

将点E的坐标代入上式并解得:k

故直线EF的表达式为:yx+

2)射线OQOA的夹角为αα为锐角,tanα).

无论正方形边长为多少,绕点O旋转角α后得到正方形OEFG的顶点E在射线OQ上,

∴当AEOQ时,线段AE的长最小.

RtAOE中,设AEa,则OE3a

a2+3a242,解得:a2

OE3a

正方形OEFG的面积=(3a2

3)设正方形边长为m

当点F落在y轴正半轴时.

如图3

PF重合时,△PEO是等腰直角三角形,有

RtAOP中,∠APO45°,OPOA4

∴点P1的坐标为(04).

在图3的基础上,

当减小正方形边长时,

P在边FG 上,△OEP的其中两边之比不可能为1

当增加正方形边长时,存在(图4)和(图5)两种情况.

如图4

EFP是等腰直角三角形,

,

,

此时有APOF

RtAOE中,∠AOE45°,

OEOA4

PEOE8PAPE+AE12

∴点P的坐标为(﹣412).

如图5

PPRx轴于点R,延长PGx轴于点H.设PFn

RtPOG中,PO2PG2+OG2m2+m+n22m2+2mn+n2

RtPEF中,PE2PF2+EF2m2+n2

时,

PO22PE2

2m2+2mn+n22m2+n2),得n2m

EOPH

∴△AOE∽△AHP

,

AH4OA16

m6

在等腰RtPRH中,PRHRPH24

ORRHOH12

∴点P的坐标为(﹣1224).

当点F落在y轴负半轴时,

如图6

PA重合时,在RtPOG中,OPOG

又∵正方形OGFE中,OGOE

OPOE

∴点P的坐标为(﹣40).

在图6的基础上,当正方形边长减小时,△OEP的其中

两边之比不可能为1;当正方形边长增加时,存在(图7)这一种情况.

如图7,过PPRx轴于点R

PGn

RtOPG中,PO2PG2+OG2n2+m2

RtPEF中,PE2PF2+FE2=(m+n 2+m22m2+2mn+n2

时,

PE22PO2

2m2+2mn+n22n2+2m2

n2m

由于NGOGm,则PNNGm

OEPN

∴△AOE∽△ANP

,

ANOA4

在等腰RtONG中,ONm

8m

m4

在等腰RtPRN中,RNPR4

∴点P的坐标为(﹣124).

所以,△OEP的其中两边的比能为1

P的坐标是:P04),P(﹣412),P(﹣1224),P(﹣40),P(﹣124).

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