【题目】如图1,A(﹣4,0).正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上,点C在第二象限.现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG.
(1)如图2,若α=60°,OE=OA,求直线EF的函数表达式.
(2)若α为锐角,tanα=,当AE取得最小值时,求正方形OEFG的面积.
(3)当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时,直线AE与直线FG相交于点P,△OEP的其中两边之比能否为:1?若能,求点P的坐标;若不能,试说明理由.
【答案】(1)y=x+;(2);(3) △OEP的其中两边的比能为:1,点P的坐标是:P(0,4),P(﹣4,12),P(﹣12,24),P(﹣4,0),P(﹣12,4).
【解析】
(1)过点E作EH⊥OA于点H,EF与y轴的交点为M,由已知条件证明△AEO为正三角形,求出点E的坐标及OM的长度,再利用E、M的坐标即可求出解析式;
(2)无论正方形边长为多少,绕点O旋转角α后得到正方形OEFG的顶点E在射线OQ上,当AE⊥OQ时,线段AE的长最小利用α为锐角,tanα=及勾股定理求出边长OE2,即可求出正方形的面积;
(3)分点F在y轴的正半轴上或负半轴上,且点P与点F或点A重合或不重合时,利用△OEP的两边之比为:1分别求出点P的坐标.
(1)如图1,过点E作EH⊥OA于点H,EF与y轴的交点为M.
∵OE=OA,α=60°,
∴△AEO为正三角形,
则OH=2,EH=2,故点E(﹣2,2),
∠EOM=30°,OM==,
设EF的函数表达式为:y=kx+,
将点E的坐标代入上式并解得:k=,
故直线EF的表达式为:y=x+;
(2)射线OQ与OA的夹角为α(α为锐角,tanα=).
无论正方形边长为多少,绕点O旋转角α后得到正方形OEFG的顶点E在射线OQ上,
∴当AE⊥OQ时,线段AE的长最小.
在Rt△AOE中,设AE=a,则OE=3a,
则a2+(3a)2=42,解得:a2=,
OE=3a,
正方形OEFG的面积=(3a)2=;
(3)设正方形边长为m.
当点F落在y轴正半轴时.
如图3,
当P与F重合时,△PEO是等腰直角三角形,有或.
在Rt△AOP中,∠APO=45°,OP=OA=4,
∴点P1的坐标为(0,4).
在图3的基础上,
当减小正方形边长时,
点P在边FG 上,△OEP的其中两边之比不可能为:1;
当增加正方形边长时,存在(图4)和(图5)两种情况.
如图4,
△EFP是等腰直角三角形,
有,
即 ,
此时有AP∥OF.
在Rt△AOE中,∠AOE=45°,
∴OE=OA=4,
∴PE=OE=8,PA=PE+AE=12,
∴点P的坐标为(﹣4,12).
如图5,
过P作PR⊥x轴于点R,延长PG交x轴于点H.设PF=n.
在Rt△POG中,PO2=PG2+OG2=m2+(m+n)2=2m2+2mn+n2,
在Rt△PEF中,PE2=PF2+EF2=m2+n2,
当时,
∴PO2=2PE2.
∴2m2+2mn+n2=2(m2+n2),得n=2m.
∵EO∥PH,
∴△AOE∽△AHP,
∴ ,
∴AH=4OA=16,
∴m=6.
在等腰Rt△PRH中,PR=HR=PH=24,
∴OR=RH﹣OH=12,
∴点P的坐标为(﹣12,24).
当点F落在y轴负半轴时,
如图6,
P与A重合时,在Rt△POG中,OP=OG,
又∵正方形OGFE中,OG=OE,
∴OP=OE.
∴点P的坐标为(﹣4,0).
在图6的基础上,当正方形边长减小时,△OEP的其中
两边之比不可能为:1;当正方形边长增加时,存在(图7)这一种情况.
如图7,过P作PR⊥x轴于点R,
设PG=n.
在Rt△OPG中,PO2=PG2+OG2=n2+m2,
在Rt△PEF中,PE2=PF2+FE2=(m+n )2+m2=2m2+2mn+n2.
当时,
∴PE2=2PO2.
∴2m2+2mn+n2=2n2+2m2,
∴n=2m,
由于NG=OG=m,则PN=NG=m,
∵OE∥PN,
∴△AOE∽△ANP,
∴,
即AN=OA=4.
在等腰Rt△ONG中,ON=m,
∴8=m,
∴m=4,
在等腰Rt△PRN中,RN=PR=4,
∴点P的坐标为(﹣12,4).
所以,△OEP的其中两边的比能为:1,
点P的坐标是:P(0,4),P(﹣4,12),P(﹣12,24),P(﹣4,0),P(﹣12,4).
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【题目】对于一个函数,自变量x取a时,函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2,且x1<1<x2,则c的取值范围是( )
A. c<﹣3B. c<﹣2C. c<D. c<1
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【题目】某市为调查市民上班时最常用的交通工具的情况,随机抽取了部分市民进行调查,要求被调查者从“:自行车,:电动车,:公交车,:家庭汽车,:其他”五个选项中选择最常用的一项.将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图,请结合统计图回答下列问题.
(1)本次调查中,一共调查了 名市民,其中“:公交车”选项的有 人;扇形统计图中,项对应的扇形圆心角是 度;
(2)若甲、乙两人上班时从、、、四种交通工具中随机选择一种,请用列表法或画树状图的方法,求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率.
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【题目】如图矩形,AB=2BC=4,E是AB二等分点,直线l平行于直线EC,且直线l与直线EC之间的距离为2,点F在矩形ABCD边上,沿直线EF折叠矩形ABCD,使点A落在直线l上,则DF=_____.
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【题目】草莓是云南多地盛产的一种水果,今年某水果销售店在草莓销售旺季,试销售成本为每千克20元的草莓,规定试销期间销售单价不低于成本单价,也不高于每千克40元,经试销发现,销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系,如图是y与x的函数关系图象.
(1)求y与x的函数解析式;
(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元,求W的最大值.
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【题目】如图,△OAB与△OCD是以点0为位似中心的位似图形,相似比为1:2,∠OCD=90,CO=CD.若B(2,0),则点C的坐标为( )
A. (2,2) B. (1,2) C. (,2) D. (2,1)
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【题目】如图,点A在函数y=(x>0)的图象上,过点A作x轴、y轴的垂线分别交函数y=(x>0,k>2)的图象于点B、C,过点C作x轴的垂线交y=(x>0)的图象于点D,连结BC、OC、OD.若点A、C的横坐标分别为1和2,则△ABC与△OCD的面积之和为( )
A.2B.3C.4D.6
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【题目】如图,△ABC中,AB=3,AC=4,以AC为斜边向外作等腰直角△ACD.连接BD,将△DAB绕点D顺时针旋转90°,点B的对应点为E.
(1)画出旋转后的三角形;
(2)在(1)的情况下连接BE,若BC=5,求△BCE的面积.
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