Question

如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，点D是劣弧AC上异于A，C点的一点，连接AD并延长交BC的延长线于点E．
（1）求证：△BDE∽△ACE；
（2）若AB=BE=10，CE=3，则AD的长是多少？
（3）若CD∥AB，过点A作AF∥BC交CD的延长线于点F，则

CF

CD

-

BC

CE

=

1

．（请直接写出答案）

Answer 1

分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角，求出∠ACB=∠ADB=90°，推出∠BDE=∠ACE，又因为∠CAE=∠DBE，即可推出△ACE和△BDE相似；
（2）根据勾股定理求出AC、AE，根据相似得出比例式，代入求出BD长，在△ABD中，根据勾股定理求出AD即可；
（3）根据平行线分线段成比例定理得出

BC

CE

=

AD

DE

，

CF

CD

=

EA

DE

=

AD+DE

DE

=1+

AD

DE

，代入即可求出答案．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠BDE=180°-∠ADB=90°，
同理∠ACE=90°=∠BDE，
∵∠CAE=∠DBE（同弧CD所对的圆周角），
∴△BDE∽△ACE．

（2）解：在△ACB中，BC=10-3=7，AB=10，
由勾股定理得：AC=

AB2-CB2

=

51

，
同理由勾股定理求出AE=2

15

，
∵△BDE∽△ACE，
∴

AC

BD

=

AE

BE

，
∴

51

BD

=

2 15

10

，
∴BD=

85

，
在△ABD中，由勾股定理得：AD=

AB2-BD2

=

102-( 85 )2

=

15

，
答：AD的长是

15

．

（3）解：结果是1，
理由是：∵CD∥AB，AF∥BC，
∴

BC

CE

=

AD

DE

，

CF

CD

=

EA

DE

，
∴

CF

CD

-

BC

CE

=

EA

DE

-

AD

DE

=

AD+DE

DE

-

AD

DE

=

AD

DE

+1-

AD

DE

=1．
故答案为：1．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，三角形的外接圆与外心等知识点的综合运用，题目综合性比较强，通过做此题培养学生运用定理进行分析问题能力，同时也培养了学生运用定理进行推理的能力．