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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，设抛物线C1：y=a（x+1）2-5，C2：y=-a（x-1）2+5，C1与C2的交点为A，B，点A的坐标是（2，4），点B的横坐标是-2．
    （1）求a的值及点B的坐标；
    （2）点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H，在DH的右侧作正三角形DHG．记精英家教网过C2顶点M的直线为l，且l与x轴交于点N．
    ①若l过△DHG的顶点G，点D的坐标为（1，2），求点N的横坐标；
    ②若l与△DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围．
    分析：（1）由于两个抛物线同时经过A、B两点，将A点坐标代入两个抛物线中，即可求得待定系数的值，进而可求出B点的坐标．
    （2）①已知了点D的坐标，即可求得正△DGH的边长，过G作GE⊥DH于E，易求得DE、EH、EG的长；根据（1）题所求得的C2的解析式，即可求出点M的坐标，也就能得到ME、MH的长，易证△MEG∽△MHN，根据相似三角形所得比例线段，即可求得N点的横坐标．
    ②求点N横坐标的取值范围，需考虑N点横坐标最大、最小两种情况：
    ①当点D、A重合，且直线l经过点G时，N点的横坐标最大；解法可参照（2）的思路，过点G作GQ⊥x轴于Q，过点M作MF⊥x轴于F，设出点N的横坐标，然后分别表示出NQ、NF的长，通过证△NQG∽△NFM，根据所得比例线段，即可求得此时N点的横坐标；
    ②当点D、B重合，直线l过点D时，N点的横坐标最小，解法同①．
    解答：精英家教网解：（1）∵点A（2，4）在抛物线C1上，
    ∴把点A坐标代入y=a（x+1）2-5得a=1，
    ∴抛物线C1的解析式为y=x2+2x-4，
    设B（-2，b），
    ∴b=-4，
    ∴B（-2，-4）；

    （2）①如图
    ∵M（1，5），D（1，2），且DH⊥x轴，
    ∴点M在DH上，MH=5，
    过点G作GE⊥DH，垂足为E，
    由△DHG是正三角形，可得EG=
    		3
    ，EH=1，
    ∴ME=4，
    设N（x，0），则NH=x-1，
    由△MEG∽△MHN，得
    ME
    MH
    =
    EG
    HN
    ，
    ∴
    4
    5
    =
    		3
    x-1
    ，
    ∴x=
    5
    4
    		3
    +1    ，
    ∴点N的横坐标为
    5
    4
    		3
    +1    ；
    ②当点D移到与点A重合时，如图，精英家教网
    直线l与DG交于点G，此时点N的横坐标最大；
    过点G，M作x轴的垂线，垂足分别为点Q，F，
    设N（x，0），
    ∵A（2，4），即AH=4，且△AGH为等边三角形，
    ∴∠AHG=60°，HG=AH=4，
    ∴∠GHQ=30°，又∠GQH=90°，
    ∴GQ=
    1
    2
    HG=2，HQ=
    		42-22
    =2
    		3
    ，
    ∴OQ=OH+HQ=2+2
    		3
    ，
    ∴G（2+2
    		3
    ，2），
    ∴NQ=x-2-2
    		3
    ，NF=x-1，GQ=2，MF=5，
    ∵△NGQ∽△NMF，
    ∴
    NQ
    NF
    =
    GQ
    MF
    ，
    ∴
    x-2-2
    		3
    x-1
    =
    2
    5
    ，
    ∴x=
    10
    		3
    +8
    3
    ，
    当点D移到与点B重合时，如图：
    直线l与DG交于点D，即点B，精英家教网
    此时点N的横坐标最小；
    ∵B（-2，-4），
    ∴H（-2，0），D（-2，-4），
    设N（x，0），
    ∵△BHN∽△MFN，
    ∴
    NH
    FN
    =
    BH
    MF
    ，
    ∴
    x+2
    1-x
    =
    4
    5
    ，
    ∴x=-
    2
    3
    ，
    ∴点N横坐标的范围为-
    2
    3
    ≤x≤
    10
    		3
    +8
    3
    且x≠0．
    点评：此题是二次函数的综合题，主要考查二次函数解析式的确定、等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质；在解答（2）题时，关键是正确地作图，构造出与所求相关的相似三角形，然后利用相似三角形的性质来求解．
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