Question

4．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径AC=6，对角线AC、BD交于E点，且AB=BD，EC=1，则AD的长是$\frac{3\sqrt{15}}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意作出合适的辅助线，然后根据三角形的相似可以求得CD的长，然后根据勾股定理可以求得AD的长．

解答 解：连接BO交AD于点F，连接OD，
∵BA=BD，OA=OD，
∴BF是线段AD的垂直平分线，
∴BF⊥AD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥DC，
∴BF∥CD，
∴△BOE∽△DCE，
∴$\frac{OB}{CD}=\frac{EO}{EC}$，
∵AC=6，EC=1，
∴OB=3，OC=3，
∴OE=2，
∴$\frac{3}{CD}=\frac{2}{1}$，
解得，CD=$\frac{3}{2}$，
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AC=6，CD=$\frac{3}{2}$，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}=\frac{3\sqrt{15}}{2}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{15}}{2}$．

点评 本题考查相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理解答．