Question

16．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c；
（1）若∠C为直角，则a²+b²=c²；
（2）若∠C为锐角，则a²+b²与c²的关系为a²+b²-c²＞0；请解答：若∠C为钝角，试推到a²+b²与c²的关系．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据题意分两种情况：若∠C为锐角；若∠C为钝角；进行讨论即可推导出a²+b²与c²的关系．

解答 解：（1）∵∠C为直角，
∴在Rt△ABC中，a²+b²=c²；
（2）证明：若∠C为锐角时，则a²+b²与c²的关系为：a²+b²＞c²
如图1，过A作AD⊥BC于D，则BD=BC-CD=a-CD
在△ABD中：AD²=AB²-BD²
在△ACD中：AD²=AC²-CD²
AB²-BD²=AC²-CD²
c²-（a-CD）²=b²-CD²
∴a²+b²-c²=2a•CD
∵a＞0，CD＞0
∴a²+b²-c²＞0，
∴a²+b²＞c²．
若∠C为钝角时，如图2，过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，则BD=BC+CD=a+CD
在△ABD中：AD²=AB²-BD²
在△ACD中：AD²=AC²-CD²
AB²-BD²=AC²-CD²
c²-（a+CD）²=b²-CD²
∴a²+b²-c²=-2a•CD
∵a＞0，CD＞0
∴a²+b²-c²＜0
∴a²+b²＜c²．

点评 此题主要考查学生对勾股定理在实际中的运用能力．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．