Question

把边长为l5的等边△ABC折叠，使点A落在直线BC的点D处，且BD：DC=1：4，设折痕为MN，点M在线段AB上，点N在直线AC上，则AN的值为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：探究型

分析：此题要分两种情况进行讨论：：①当点A落在线段BC上时；②当A在CB的延长线上时，首先证明△BMD∽△CDN．根据相似三角形的性质可得

BD

CN

=

DM

DN

=

BM

CD

，再设AN=x，则CN=15-x，然后利用含x的式子表示DM、BM，根据BM+DM=15列出方程，解出x的值可得答案．

解答：解：①当点A落在如图1所示的位置时，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，
∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，
∴∠BMD=∠NDC，
∴△BMD∽△CDN．
∴

BD

CN

=

DM

DN

=

BM

CD

，
∵DN=AN，
∴

BD

CN

=

DM

AN

=

BM

CD

，
∵BD：DC=1：4，BC=15，
∴DB=3，CD=12，
设AN=x，则CN=15-x，
∴

3

15-x

=

DM

x

=

BM

12

，
∴DM=

3x

15-x

，BM=

36

15-x

，
∵BM+DM=15，
∴

3x

15-x

+

36

15-x

=15
解得x=10.5，
∴AN=10.5；

②当A在CB的延长线上时，如图2，
与①同理可得△BMD∽△CDN．
∴

BD

CN

=

DM

DN

=

BM

CD

，
∵BD：DC=1：4，BC=15，
∴DB=5，CD=20，
设AN=x，则CN=x-15，
∴

5

x-15

=

DM

x

=

BM

20

，
∴DM=

5x

x-15

，BM=

100

x-15

，
∵BM+DM=15，
∴

5x

x-15

+

100

x-15

=15，
解得：x=32.5，
∴AN=32.5．
故答案为：10.5或32.5．

点评：此题主要考查了翻折变换，关键是证明△BMD∽△CDN得到

BD

CN

=

DM

DN

=

BM

CD

，再利用含AN的式子表示DM、BM．