Question

【题目】已知抛物线y＝x2﹣2ax+m．

（1）当a＝2，m＝﹣5时，求抛物线的最值；

（2）当a＝2时，若该抛物线与坐标轴有两个交点，把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，请判断k的取值情况，并说明理由；

（3）当m＝0时，平行于y轴的直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣1）和该抛物线交于P，Q两点．若平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）-9；（2）k＞0，见解析；（3）a＞1或a＜﹣1

【解析】

(1)把a＝2，m＝﹣5代入抛物线解析式即可求抛物线的最值；

(2)把a＝2代入，当该抛物线与坐标轴有两个交点，分抛物线与x轴、y轴分别有一个交点和抛物线与x轴、y轴交于原点，分别求出m的值，把它沿y轴向上平移k个单位长度，得到新的抛物线与x轴没有交点，列出不等式，即可判断k的取值；

(3)根据题意，分a大于0和a小于0两种情况讨论即可得a的取值范围．

解：(1)当a＝2，m＝﹣5时，

y＝x2﹣4x﹣5

＝（x﹣2）2﹣9

所以抛物线的最小值为﹣9．

(2)当a＝2时，

y＝x2﹣4x+m

因为该抛物线与坐标轴有两个交点，

①该抛物线与x轴、y轴分别有一个交点

∴△=16-4m=0，

∴m=4，

∴y＝x2﹣4x+4=（x-2）2

沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，

则k＞0；

②该抛物线与x轴、y轴交于原点，

即m=0，

∴y＝x2﹣4x

∵把它沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点，

∴y＝x2﹣4x+k

此时△＜0，

即16﹣4k＜0

解得k＞4;

综上，k＞0时，函数沿y轴向上平移k个单位长度后，得到新的抛物线与x轴没有交点；

(3)当m＝0时，y＝x2﹣2ax

抛物线开口向上，与x轴交点坐标为（0，0）（2a，0），a≠0．

直线l分别与直线y＝x﹣（a﹣1）和该抛物线交于P，Q两点，

平移直线l，可以使点P，Q都在x轴的下方，

①当a＞0时，如图1所示，

此时，当x＝0时，0﹣a+1＜0，解得a＞1；

②当a＜0时，如图2所示，

此时，当x＝2a时，2a﹣a+1＜0，解得a＜﹣1．

综上：a＞1或a＜﹣1．