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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连接AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC，过点B作x轴的垂线交直线AC于点D，设点B坐标是（t，0）。
    （1）当t=4时，求直线AB的解析式；
    （2）当t＞0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；
    （3）是否存在点B，使△ABD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由。
    解：（1）当t=4时，B（4，0）
    设直线AB的解析式为y= kx+b
    把 A（0，6），B（4，0） 代入得：
    解得：
    ∴直线AB的解析式为y=-x+6.
    （2）过点C作CE⊥x轴于点E
    由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，
    得△AOB∽△BEC
    ∴
    ∴
    ∴点C的坐标为（t+3，）
    S梯形AOEC=
    S△AOB=
    S△BEC=
    ∴S△ABC= S梯形AOEC- S△AOB-S△BEC
    。
    （3）存在，理由如下：
    ①当t≥0时
    i）若AD=BD
    又∵BD∥y轴
    ∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，
    ∴∠OAB=∠BAD
    又∵∠AOB=∠ABC，
    ∴△ABO∽△ACB
    ∴
    ∴
    ∴t=3，即B（3，0）。
    ii）若AB=AD
    延长AB与CE交于点G
    又∵BD∥CG
    ∴AG=AC
    过点A作AH⊥CG于H
    ∴
    由△AOB∽△GEB
    得
    ∴
    又∵HE=AO=6，
    ∴
    ∴
    解得：
    因为 t≥0
    ∴
    即；
    iii）由已知条件可知，当0≤t＜12时，∠ADB为钝角，
    故BD≠AB
    当t≥12时，BD≤CE＜BC＜AB
    ∴当t≥0时，不存在BD=AB的情况。
    ②当-3≤t＜0时，∠DAB是钝角
    设AD=AB，
    过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F
    可求得点C的坐标为
    ∴
    由BD∥y轴，AB=AD得，
    ∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB
    ∴∠BAO=∠FAC，
    又∵∠AOB=∠AFC=90°，
    ∴△AOB∽△AFC，
    ∴
    ∴
    ∴
    解得
    因为-3≤t＜0
    所以
    即。
    ③当t＜-3时，∠ABD是钝角
    设AB=BD，过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F，
    可求得点C的坐标为
    ∴
    ∵AB=BD，
    ∴∠D=∠BAD
    又∵BD∥y轴，
    ∴∠D=∠CAF，
    ∴∠BAC=∠CAF
    又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，
    ∴△ABC≌△AFC，
    ∴AF=AB，CF=BC
    ∴
    解得：t=-8，即B（-8，0）
    综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，此时点B坐标为：
    。
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    29
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    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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