Question

如图，圆O经过平行四边形ABCD的三个顶点A、B、D，且圆心O在平行四边形ABCD的外部，tan∠DAB=

1

2

，D为弧AB的中点，⊙O的半径为5，求平行四边形的面积．

Answer 1

分析：连接OD，交AB于点E，连接OA，由D为弧AB的中点，利用垂径定理的逆定理得到OD垂直于AB，E为AB的中点，在直角三角形ADE中，由tan∠DAB的值，得到AE=2DE，设DE=x，则有AE=2x，由半径为5，得到OA=OD=5，由OD-DE表示出OE，在直角三角形AEO中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AB与DE的长，利用平行四边形的面积公式即可求出面积．

解答：解：连接OD，交AB于点E，连接OA，如图所示，
∵D为

AB

的中点，
∴OD⊥AB，
∴E为AB的中点，即AE=BE，
在Rt△ADE中，tan∠DAB=

DE

AE

=

1

2

，
设DE=x，OA=OD=5，
则AE=2x，OE=OD-DE=5-x，
在Rt△AOE中，
根据勾股定理得：OA²=AE²+OE²，即25=4x²+（5-x）²，
解得：x=0（舍去）或x=2，
∴AE=4，DE=2，
∴AB=2AE=8，
则S_{平行四边形ABCD}=AB•DE=8×2=16．

点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，以及平行四边形的性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．