Question

（2005•三明）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD，过D点作DE∥AC交BC的延长线于E点．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AD=3，BC=7，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）可用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来证明四边形ACED是平行四边形；
（2）过D点作DF⊥BE于F点，证明四边形ABCD是等腰梯形，进一步证明△DBE是等腰直角三角形，求得DF的值，代入S_梯形ABCD=（AD+BC）•DF即可．
解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴AD∥CE．
又∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形．（4分）

（2）解：过D点作DF⊥BE于F点，（5分）
∵DE∥AC，AC⊥BD，
∴DE⊥BD，即∠BDE=90°．（6分）
由（1）知DE=AC，CE=AD=3，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=DB．（7分）
∴DE=DB．（8分）
∴△DBE是等腰直角三角形，
∴△DFB也是等腰直角三角形．
∴DF=BF=（7-3）+3=5．（10分）
（也可运用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
S_梯形ABCD=（AD+BC）•DF=（7+3）×5=25．（12分）
点评：此题考查平行四边形的判定、等腰梯形的性质及梯形中常见的辅助线的作法．