Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：

①AD2＋BC2＝4；

②sin∠DAC＝；

③若AC＝BD，则DE＝OE；

④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．

其中正确的是（ ）

A.①②③B.②③④C.③④D.②④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①错误．证明AC2＋BC2＝AB2＝4即可判断．

②正确．证明∠DAC＝∠CBP即可解决问题．

③正确．推出△AOD是等边三角形，即可解决问题．

④正确．利用全等三角形的性质证明DE＝BC，再利用三角形的中位线定理证明BC＝2OE即可解决问题．

解：∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴AC2＋BD2＝AB2＝4，

∵AC＞AD，

∴AD2＋BC2＜4，故①错误，

∵∠DAC＝∠CBD，

∴sin∠DAC＝sin∠CBD＝，故②正确，

∵AE⊥OE，

∴＝，

∵AC＝BD，

∴＝，

∴＝＝，

∴∠AOD＝60°，

∵OA＝OD，

∴△OAD是等边三角形，

∵AE⊥OD

∴DE＝OE，故③正确，

∵∠DEP＝∠BCP＝90°，DP＝PB，∠DPE＝∠BPC，

∴△PDE≌△PBC（AAS），

∴DE＝BC，

∵OE∥BC，AO＝OB，

∴AE＝EC，

∴BC＝2OE，

∴DE＝2OE，故④正确．

故选：B．