Question

12．如图．直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1和x、y轴分别交于点A、B，∠BAO=30°，以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC．如果在第一象限内有一点P（m，1），且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求m的值．

Answer 1

分析 对于直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，令x=0求出y=-1，可得出B坐标为（0，-1），进而确定出OB的长，在直角三角形AOB中，由∠BAO=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到AB=2OB，求出AB的长，利用勾股定理求出OA的长，确定出A的坐标，由三角形ABC为等边三角形，得到∠BAC为60°，由∠BAO+∠BAC得到∠OAC为直角，再由AB的长，求出AC的长，即可求确定出C的坐标；由三角形ABP的面积与三角形ABC的面积相等，且AB为两三角形的公共边，得到AB边上的高相等，进而得到直线PC与直线AB平行，即两直线的斜率相等，由直线AB的斜率设出直线PC的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，将C坐标代入求出b的值，确定出直线PC解析式，将P坐标代入直线PC解析式中，即可求出m的值．

解答 解：对于直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，令x=0，解得y=1，
则B（0，1），即OB=1，
∵∠BAO=30°，
∴在Rt△OAB中，AB=2OB=2，
根据勾股定理得：OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴A（$\sqrt{3}$，0），
∵AB=2，∠BAO=30°，△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=2，∠OAC=∠BAO+∠BAC=30°+60°=90°，
∵C在第一象限，OA=$\sqrt{3}$，
∴C（$\sqrt{3}$，2）；
∵△ABP的面积和△ABC的面积相等，
∴直线PC∥直线AB，
设直线PC解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
把C（$\sqrt{3}$，2）代入直线PC得：2=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$+b，即b=3，
∴直线PC解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3
把点P（m，1）代入直线PC，得1=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+3，
解得：m=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，含30度直角三角形的性质，等边三角形的性质，待定系数法确定一次函数解析式，平行线的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．