【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A,与x轴交于点B(3,0)、C(﹣1,0)两点.
(1)求直线AB和抛物线的表达式;
(2)当点F为直线AB上方抛物线上一动点(不与A、B重合),过点F作FP//x轴交直线AB于点P;过点F作FR//y轴交直线AB于点R,求PR的最大值;
(3)把射线BA绕着点B逆时针旋转90°得到射线BM,点E在射线BM运动(不与点B重合),以BC、BE为邻边作平行四边形BCDE,点H为DE边上动点,连接CH,请直接写出CH+HE的最小值.
【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,直线AB的解析式为y=﹣x+3;(2)PR有最大值为;(3)最小值为2.
【解析】
(1)将点B,C坐标代入抛物线解析式中,即可求出a,c,进而求出点A的坐标,再用待定系数法求出直线AB的解析式;
(2)先判断出∠OBA=∠OAB=45°,进而判断出∠FPR=∠FRP=45°,得出∠PFR=90°,PF=FR,进而得出PR=FR,再设点R(t,﹣t+3),得出点F(t,﹣t2+2t+3),进而得出PR=FR=﹣(t﹣)2+,即可得出结论;
(3)过点C作CG⊥BM于G,交DE于点H,先判断出∠DEG=∠CBE=45°,进而判断出HG=HE,根据垂线段最短和锐角三角函数即可得出结论.
解:(1)∵抛物线y=ax2+2x+c经过点B(3,0)、C(﹣1,0),
∴,
∴,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,
令x=0,则y=3,
∴A(0,3),
∴设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵直线AB经过点A(0,3)、B(3,0),
∴,
∴,
∴直线AB的解析式为y=﹣x+3;
(2)∵A(0,3),B(3,0),
∴OA=OB=3,
∵∠AOB=90°,
∴∠OBA=∠OAB=45°,
∵FP//x轴,FR//y轴,
∴∠FPR=∠OBA=45°,∠FRP=∠OAB=45°,
∴∠FPR=∠FRP=45°,
∴∠PFR=90°,PF=FR,
根据勾股定理得,PR=FR,
∵点R在直线AB上,
∴设点R(t,﹣t+3),
∵FR//y轴,
∴点F的横坐标为t,
∵点F在抛物线y=﹣x2+2x+3上,
∴点F(t,﹣t2+2t+3),
∴PR=FR= [(﹣t2+2t+3)﹣(﹣t+3)]=﹣(t﹣)2+,
∵a=﹣<0,抛物线的开口向下,二次函数有最大值,
当t=时,PR有最大值,PR的最大值为;
(3)如图,过点C作CG⊥BM于G,交DE于点H,
∵把射线BA绕着点B逆时针旋转90°得到射线BM,
∴∠ABM=90°,
∵∠OBA=45°,
∴∠CBE=∠ABM﹣∠OBA=45°,
∵DE//CB,
∴∠DEG=∠CBE=45°,
在Rt△HGE中,HG=HEsin45°=HE,
根据垂线段最短得,(CH+HE)最小=CG,
∴CH+HE=CG=CBsin45°=2,
即CH+HE的最小值为2.
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【题目】为培养学生良好学习习惯,某学校计划举行一次“整理错题集”的展示活动,对该校部分学生“整理错题集”的情况进行了一次抽样调查,根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表.
整理情况 | 频数 | 频率 |
非常好 | 0.21 | |
较好 | 70 | 0.35 |
一般 | m | |
不好 | 36 |
请根据图表中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次抽样共调查了 名学生;
(2)m= ;
(3)该校有1500名学生,估计该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名?
(4)某学习小组4名学生的错题集中,有2本“非常好”(记为A1、A2),1本“较好”(记为B),1本“一般”(记为C),这些错题集封面无姓名,而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同,从中抽取一本,不放回,从余下的3本错题集中再抽取一本,请用“列表法”或“画树形图”的方法求出两次抽到的错题集都是“非常好”的概率.
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【题目】如图,BE是O的直径,点A和点D是⊙O上的两点,过点A作⊙O的切线交BE延长线于点.
(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数;
(2)若AB=AC,CE=2,求⊙O半径的长.
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【题目】一连锁店销售某品牌商品,该商品的进价是60元.因为是新店开业,所以连锁店决定当月前10天进行试营业活动,活动期间该商品的售价为每件80元,据调查研究发现:当天销售件数(件)和时间第x(天)的关系式为(),已知第4天销售件数是40件,第6天销售件数是44件.活动结束后,连锁店重新制定该商品的销售价格为每件100元,每天销售的件数也发生变化:当天销售数量(件)与时间第x(天)的关系为:().
(1)求关于x的函数关系式;
(2)若某天的日毛利润是1120元,求x的值;
(3)因为该连锁店是新店开业,所以试营业结束后,厂家给这个连锁店相应的优惠政策:当这个连锁店日销售量达到60件后(不含60),每多销售1件产品,当日销售的所有商品进价减少2元,设该店日销售量超过60件的毛利润总额为W,请直接写出W关于x的函数解析式,及自变量x的取值范围: .
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【题目】为丰富学生的文体生活,某校计划开设五门选修课程:声乐、足球、舞蹈、书法、演讲.要求每名学生必须选修且只能选修一门课程,为保证计划的有效实施,学校随机对部分学生进行了一次调查,并将调查结果绘制成如图不完整的统计图.请根据统计图解答下列问题.
(1)本次接受问卷调查的学生有 名;
(2)补全条形统计图;
(3)扇形统计图中选修“演讲”课程所对应扇形的圆心角的度数为 ;
(4)该校有800名学生,请你估计选修“足球”课程的学生有多少名.
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【题目】随着生活水平的日益提高,人们越来越喜欢过节,节日的仪式感日渐浓烈,某校举行了“母亲节暖心特别行动”,从中随机调查了部分同学的暖心行动,并将其分为A,B,C,D四种类型(分别对应送服务、送鲜花、送红包、送话语).现根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图.
请根据以上不完整的统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)该校共抽查了多少名同学的暖心行动?
(2)求出扇形统计图中扇形B的圆心角度数?
(3)若该校共有2400名同学,请估计该校进行送鲜花行动的同学约有多少名?
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【题目】某班50名学生参加“迎国庆,手工编织‘中国结’”活动,要求每人编织4~7枚,活动结束后随机抽查了20名学生每人的编织量,并将各类的人数绘制成扇形统计图(如图1)和条形统计图(如图2),
注:A代表4枚;B代表5枚;C代表6枚;D代表7枚.经确认扇形图是正确的,而条形统计图尚有一处错误.
回答下列问题:
(1)写出条形图中存在的错误: ;
(2)写出这20名学生每人编织‘中国结’数量的众数 、中位数 、平均数 ;
(3)求这50名学生中编织‘中国结’个数不少于6的人数;
(4)若从这50名学生中随机选取一名,求其编织‘中国结’个数为C的概率.
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【题目】某公司生产一种健身产品在市场上很受欢迎,该公司每年的产量为6万件,可在国内和国外两个市场全部销售.若在国外销售,平均每件产品的利润y1(元)与国外销售量x(万件)的函数关系式为y1=.若在国内销售,平均每件产品的利润为y2=84元.
(1)求该公司每年在国内和国外销售的总利润w(万元)与国外销售量x(万件)的函数关系式,并指出x的取值范围;
(2)该公司每年在国内国外销售量各为多少时,可使公司每年的总利润最大?最大值是多少?
(3)该公司计划从国外销售的每件产品中捐出2m(1≤m≤4)元给希望工程,从国内销售的每件产品中捐出m元给希望工程,且国内销售不低于4万件,若这时国内国外销售的总利润的最大值为520万元,求m的值.
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【题目】二次函数y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O和点A(7,0),直线AB交y轴于点B(0,﹣7),动点C(x,y)在直线AB上,且1<x<7,过点C作x轴的垂线交抛物线于点D,则CD的最值情况是( )
A.有最小值9B.有最大值9C.有最小值8D.有最大值8
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