Question

如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④2CD²=CE•AB．其中正确结论的序号是（　　）

A．①②

B．③④

C．①③

D．①④

Answer 1

分析：①根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD=∠ADO即可；
②由①得OE：EC=OD：AC，再由OD≠AC，可得CE≠OE；
③两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明△ODE∽△ADO；
④根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠COD=45°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠CDE=45°，再求证△CED∽△CDO，利用其对应变成比例即可得出结论．

解答：解：∵AB是半圆直径，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO=

1

2

∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，故①正确．

由题意得，OD=R，AC=

2

R，
∵OE：CE=OD：AC=

2

2

，
∴OE≠CE，故②错误；

∵∠OED=∠AOE+∠OAE=90°+22.5°=112.5°，∠AOD=90°+45°=135°，
∴∠OED≠∠AOD，
∴△ODE与△ADO不相似，故③错误；

∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=

1

2

×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圆直径，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已证），
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△CDO，
∴

CD

CO

=

CE

CD

，
∴CD²=CO•CE=

1

2

AB•CE，
∴2CD²=CE•AB，故④正确．
综上可得①④正确．
故选D．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易程度适中，很适合学生的训练是一道典型的题目．