Question

18．如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点E，使CE=CA，连接AE，在AB上取一点N，使BN=BE，连接CN并延长，分别交BD，AE与点M，F，连接FO．
（1）求证：△ABE≌△CBN；
（2）求FO的长；
（3）直接写出线段FM与CN的数量关系．

Answer 1

分析 （1）先判断出AB=BC进而得出△ABE≌△CBN，
（2）先判断出∠CFE=90°，进而判断出AF=EF，即可得出FO是△ACE的中位线即可；
（3）先判断出△ABE∽△COM即可得出CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CN，即可得出结论．

解答 解：（1）∵正方形ABCD的边长为1，
∴AB=BC=1，AC=$\sqrt{2}$，∠ABC=90°，
在△ABE和△CBN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBN=90°}\\{BE=BN}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBN，
（2）由（1）知，△ABE≌△CBN，
∴∠BNC=∠AEB，
∵∠BNC+∠BCN=90°，
∴∠AEB+∠BCN=90°，
∴∠EFC=90°，
∵AC=CE，
∴AF=EF，
∵点O是正方形ABCD的对角线的交点，
∴OA=OC，
∴OF是△ACE的中位线，
∴FO=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）由（1）知，△ABE≌△CBN，
∴AE=CN，
∵∠BAE=∠BCN，∠ACN=∠BCN，
∴∠BAE=∠OCM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠ABE=∠COM=90°，
∴△ABE∽△COM，
∴$\frac{CM}{AE}=\frac{OC}{AB}$，
∴$\frac{CM}{CN}=\frac{OC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CN，
由（1）知，$\frac{FO}{BC}=\frac{FM}{CM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴FM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CM=$\frac{1}{2}$CN．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是得出∠EFC=90°，是一道中等难度的中考常考题．