Question

12．如图，直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，直角边AB垂直x轴，垂足为Q，已知∠ACB=60°，点A，C，P均在反比例函数y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的图象上，分别作PF⊥x轴于F，AD⊥y轴于D，延长DA，FP交于点E，且点P为EF的中点．
（1）求点B的坐标；
（2）求四边形AOPE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据∠ACB=60°，求出tan60°=$\frac{AQ}{OQ}$=$\sqrt{3}$，设点A（a，b），根据点A，C，P均在反比例函数y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的图象上，求出A点的坐标，从而得出C点的坐标，然后即可得出点B的坐标；
（2）先求出AQ、PF的长，设点P的坐标是（m，n），则n=$\sqrt{3}$，根据点P在反比例函数y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的图象上，求出m和S_△OPF，再求出S_{长方形DEFO}，最后根据S_{四边形AOPE}=S_{长方形DEFO}-S_△AOD-S_△OPF，代入计算即可．

解答 解：（1）∵∠ACB=60°，
∴∠AOQ=60°，
∴tan60°=$\frac{AQ}{OQ}$=$\sqrt{3}$，
设点A（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a}=\sqrt{3}}\\{b=\frac{4\sqrt{3}}{a}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$（不合题意，舍去）
∴点A的坐标是（2，2$\sqrt{3}$），
∴点C的坐标是（-2，-2$\sqrt{3}$），
∴点B的坐标是（2，-2$\sqrt{3}$），

（2）∵点A的坐标是（2，2$\sqrt{3}$），
∴AQ=2$\sqrt{3}$，
∴EF=AQ=2$\sqrt{3}$，
∵点P为EF的中点，
∴PF=$\sqrt{3}$，
设点P的坐标是（m，n），则n=$\sqrt{3}$
∵点P在反比例函数y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的图象上，
∴$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{m}$，S_△OPF=$\frac{1}{2}$|4$\sqrt{3}$|=2$\sqrt{3}$，
∴m=4，
∴OF=4，
∴S_{长方形DEFO}=OF•OD=4×2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
∵点A在反比例函数y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的图象上，
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$|4$\sqrt{3}$|=2$\sqrt{3}$，
∴S_{四边形AOPE}=S_{长方形DEFO}-S_△AOD-S_△OPF=8$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了反比例函数$y=\frac{k}{x}$中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=$\frac{1}{2}$|k|．