Question

【题目】在△ABC中，BC＝6，S△ABC＝18，正方形DEFG的边FG在BC上，顶点D，E分别在AB，AC上．

（1）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点K，求正方形DEFG的边长；

（2）如图2，在BE上取点M，作MN⊥BC于点N，MQ∥DE交AB于点Q，QP⊥BC于点P，求证：四边形MNPQ是正方形；

（3）如图3，在BE上取点R，使RE＝FE，连结RG，RF，若tan∠EBF＝．求证：∠GRF＝90°．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）如图1中，设正方形DEFG的边长为x．利用相似三角形的对应高的比等于相似比构建方程即可解决问题．

（2）利用平行线分线段成比例定理证明MN＝MQ，再证明四边形MNPQ是平行四边形即可解决问题．

（3）设EF＝GF＝3k，BF＝4k，则BG＝k，BE＝5k，可得BR2＝BGBF＝4k2，推出，推出△RBG∽△FBR，推出∠BRG＝∠RFB，再证明∠ERF+∠BRG＝90°可得结论．

解：（1）如图1中，设正方形DEFG的边长为x．

∵AH⊥BC，

∴S△ABC＝BCAH＝18，

∴×6×AH＝18，

∴AH＝6，

∵四边形DEFG是正方形，

∴DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∴，

∴x＝3，

∴正方形DEFG的边长为3．

（2）证明：如图2中，

∵MN⊥BC，四边形DEFG是正方形，

∴∠MNB＝∠EFB＝90°，DE＝EF，

∴MN∥EF，

∴，

∵MQ∥DE，

∴，

∴，

∴MN＝MQ，

∵QP⊥BC，MN⊥BC，

∵QP∥MN，

∵MQ∥DE，DE∥BC，

∴QM∥PN，

∴四边形MNPQ是平行四边形，

∵∠MNP＝90°，

∴四边形MNPQ是矩形，

∵MN＝MQ，

∴四边形MNPQ是正方形．

（3）证明：如图3中，

在Rt△EBF中，∵tan∠EBF＝，

∴可以假设EF＝GF＝3k，BF＝4k，则BG＝k，BE＝5k，

∵ER＝EF＝3k，

∴BR＝BE﹣ER＝2k，

∴BR2＝BGBF＝4k2，

∴，

∵∠RBG＝∠RBF，

∴△RBG∽△FBR，

∴∠BRG＝∠RFB，

∵ER＝EF，

∴∠ERF＝∠EFR，

∵∠EFR+∠BFR＝90°，

∴∠ERF+∠BRG＝90°，

∴∠FRG＝90°．