Question

7．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接AB．
（1）若割线PEC过点O，且交AB于点D（如图①），求证：PE•CD=PC•DE；
（2）若割线PEC不过点O（如图②），则上述结论是否成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理、切割线定理列出等式进行恒等变形即可．
（2）连接PO，交AB于H，利用勾股定理、切割线定理列出等式进行恒等变形即可．

解答 （1）证明：如图①中，∵PA、PB是切线，
∴PA=PB，
∵OA=OB，
∴PO⊥AB，AD=BD
∵PA²=PE•PC=PD²+AD²，AD²=DE•DC，
∴PE（PD+CD）=PD²+DE•DC，
∴PE•PD+PE•CD=PD²+DE•DC，
∴PE•CD=PD（PD-PE）+DE•DC，
∴PE•DC=PD•ED+DE•DC，
∴PE•DC=DE（PD+DC），
∴PE•DC=DE•PC．
（2）如图②中，连接OP交AB于点H，则AH=BH，OP⊥AB，
∵PA²=PE•PC，PA²=AH+PH²，
∴AH²+PH²=PE•PC
在RT△DHP中，DH²+PH²=DP²，
∴AH²-DH²=PE•PC-PD²，
∵DE•DC=AD•BD=（AH-DH）（AH+DH）=AH²-DH²，
∴PE•PC-PD²=DE•CD，
∴PE（（PD+CD）-PD²=DE•（（PC-PD），
∴PE•PD+PE•CD-PD²=DE•CP-DE•PD，
∴PE•CD-PD（PD-PE）=DE•CP-DE•PD
∴PE•CD-PD•ED=DE•PC-DE•PD，
∴PE•DC=DE•PC．

点评 本题考查勾股定理、切割线定理，解题关键是先根据定理列出等式，再进行恒等变形，有一定难度．