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如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴的一个交点A(3,0).
(1)试分别求出这条抛物线与x轴的另一个交点B及与y轴的交点C的坐标.
(2)设抛物线的顶点为D,请在图中画出抛物线的草图,若点E(-2,n)在直线BC上,试判断E点是否在经过D点的反比例函数的图象上,并说明理由;
(3)试求tan∠DAC的值.
考点:抛物线与x轴的交点,反比例函数图象上点的坐标特征,二次函数的图象
专题:数形结合,待定系数法
分析:(1)把A点的坐标代入抛物线的解析式,就可以求出m的值,得到抛物线的解析式.在解析式中令y=0,解方程就可以求出与x轴的交点.
(2)根据函数解析式就可求出抛物线的顶点坐标,利用待定系数法求出反比例函数的解析式.
经过C,B的直线解析式可以用待定系数法求得,进而求出E点的坐标.把E的坐标代入反比例函数解析式,就可以判断是否在反比例函数的图象上.
(3)过D作DF⊥y轴于点F,则△CFD为等腰直角三角形,△AOC是等腰直角三角形,根据勾股定理就可以求出CD,AC的长度.Rt△ADC中中根据三角函数的定义就可以求出三角函数值.
解答:解:(1)因为A(3,0)在抛物线y=-x2+mx+3上,
则-9+3m+3=0,解得m=2.
所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
因为B点为抛物线与x轴的交点,求得B(-1,0),
因为C点为抛物线与y轴的交点,求得C(0,3).

(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴顶点D(1,4),
画这个函数的草图.
由B,C点的坐标可求得直线BC的解析式为y=3x+3,
∵点E(-2,n)在y=3x+3上,
∴E(-2,-3).
可求得过D点的反比例函数的解析式为y=
4
x

当x=-2时,y=
4
x
=
4
-2
=-2≠-3.
∴点E不在过D点的反比例函数图象上.

(3)过D作DF⊥y轴于点F,则△CFD为等腰直角三角形,且CD=
2

连接AC,则△AOC为等腰直角三角形,且AC=3
2

因为∠ACD=180°-45°-45°=90°,
∴Rt△ADC中,tan∠DAC=
CD
AC
=
1
3

另解:∵Rt△CFD∽Rt△COA,
CD
AC
=
CF
OC
=
1
3

∵∠ACD=90°,
∴tan∠DAC=
CD
AC
=
1
3
点评:本题主要考查了待定系数法求函数的解析式,以及二次函数顶点坐标的求法.
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