Question

如图，已知抛物线y=-x²+mx+3与x轴的一个交点A（3，0）．
（1）试分别求出这条抛物线与x轴的另一个交点B及与y轴的交点C的坐标．
（2）设抛物线的顶点为D，请在图中画出抛物线的草图，若点E（-2，n）在直线BC上，试判断E点是否在经过D点的反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）试求tan∠DAC的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,反比例函数图象上点的坐标特征,二次函数的图象

专题：数形结合,待定系数法

分析：（1）把A点的坐标代入抛物线的解析式，就可以求出m的值，得到抛物线的解析式．在解析式中令y=0，解方程就可以求出与x轴的交点．
（2）根据函数解析式就可求出抛物线的顶点坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式．
经过C，B的直线解析式可以用待定系数法求得，进而求出E点的坐标．把E的坐标代入反比例函数解析式，就可以判断是否在反比例函数的图象上．
（3）过D作DF⊥y轴于点F，则△CFD为等腰直角三角形，△AOC是等腰直角三角形，根据勾股定理就可以求出CD，AC的长度．Rt△ADC中中根据三角函数的定义就可以求出三角函数值．

解答：解：（1）因为A（3，0）在抛物线y=-x²+mx+3上，
则-9+3m+3=0，解得m=2．
所以抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
因为B点为抛物线与x轴的交点，求得B（-1，0），
因为C点为抛物线与y轴的交点，求得C（0，3）．

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D（1，4），
画这个函数的草图．
由B，C点的坐标可求得直线BC的解析式为y=3x+3，
∵点E（-2，n）在y=3x+3上，
∴E（-2，-3）．
可求得过D点的反比例函数的解析式为y=

4

x

．
当x=-2时，y=

4

x

=

4

-2

=-2≠-3．
∴点E不在过D点的反比例函数图象上．

（3）过D作DF⊥y轴于点F，则△CFD为等腰直角三角形，且CD=

2

．
连接AC，则△AOC为等腰直角三角形，且AC=3

2

．
因为∠ACD=180°-45°-45°=90°，
∴Rt△ADC中，tan∠DAC=

CD

AC

=

1

3

．
另解：∵Rt△CFD∽Rt△COA，
∴

CD

AC

=

CF

OC

=

1

3

．
∵∠ACD=90°，
∴tan∠DAC=

CD

AC

=

1

3

．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及二次函数顶点坐标的求法．