Question

（2009•莆田二模）已知：直角梯形ABCO以O为原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立坐标系，其中AB=10，OA=40，∠OCB=45°．
（1）求过O、B、C三点的抛物线解析式；
（2）在抛物线BC段上存在一点D，使得△ACD面积最大？若存在，请求出D点坐标，并求最大面积；
（3）动点F从A向B运动速度为1，E从C到O点运动速度为3，几秒后使得EF平分梯形ABCO的面积，并求出直线EF的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）可先根据已知条件求出B、C的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）求三角形ACD的面积，无法直接利用D、A、C的坐标来求，那么可过D作DD′⊥x轴交AC的延长线于D′，那么三角形ADC的面积=三角形ADD′的面积-三角形DCD′的面积．可先根据A、C的坐标求出AC所在直线的解析式，然后根据抛物线和一次函数的解析式分别设出D、D′的坐标，然后用x表示出DD′的长，而这两个三角形的高的差正好就是OC的长，由此可得出关于S、x的函数关系式，可根据得出的函数的性质来求出S的最大面积以及对应的x的值，然后将x代入抛物线中求出D点的坐标．
（3）可先设出时间为t，那么此时可先求出梯形OABC的面积，然后用时间t表示出梯形OEFB的面积，根据梯形OEFB的面积是梯形OABC面积的一半可得出关于t的方程，进而可求出t的值，也就得出了E、F的坐标，然后用待定系数法即可求出E、F所在的直线的解析式．
解答：解：（1）过B作BB′⊥x轴于B′
∴B（10，40）
在Rt△BB’C中

即BB'=B'C=40
∴C（50，0）设y=ax²+bx+c
∴
解得
∴y=-x²+5x

（2）设直线AC解析式为y=kx+b

∴
过D作DD'∥y轴交直线于D'点
设D（x，-x²+5x）则D'（x，-x+40）
则S_△ACD==-x²+145x-1000
∵＜0
∴S_△ACD有最大值
∴当时S_△ACD最大=1102.5
当x=29
时，-x²+5x=60.9
∴此时D（29，60.9）

（3）设时间为t，0≤t≤10
依题意得：
F（t，40）EM（50-30t，0），
=×
即：=×
50-2t=30
t=10
即：F（10，40）E（20，0）时，MN把梯形面积平分．
设EF解析式为y=k₁x+b₁则有：

解得：
∴直线EF解析式为y=-2x+60．
点评：本题结合梯形的知识考查了一次函数及二次函数的应用．用数形结合的思想进行求解是本题的基本思路．