Question

4．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，BD是AC边上的中线，分别以AC、AB所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系．
（1）求直线BD的函数解析式；
（2）在BD所在直线上是否存在一点P，使⊙P与两坐标轴都相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意确定出B与D坐标，设直线BD解析式为y=kx+b，把B与D坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线BD解析式；
（2）存在，由圆P与两坐标轴都相切，得到P横纵坐标绝对值相等，分P在第一象限与第四象限两种情况求出P坐标即可．

解答 解：（1）由题意得：B（0，4），D（2，0），
设直线BD解析式为y=kx+b，
把B与D坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
则直线BD解析式为y=-2x+4；
（2）存在，
由⊙P与两坐标轴都相切，
若P在第一象限，设P（x，x），
把P坐标代入直线BD解析式得：x=-2x+4，即x=$\frac{4}{3}$，此时P（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）；
若P在第四象限，设P（x，-x），
把P坐标代入直线BD解析式得：-x=-2x+4，即x=4，此时P（4，-4）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：线段中点坐标公式，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．