Question

如图，已知AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC．
（1）求证：△ABC∽△POA；
（2）若AB=2，PA=，求BC的长．（结果保留根号）

Answer 1

【答案】分析：此题首先要掌握圆的性质，直径所对的圆周角是直角；根据切线的性质可得∠PAO=90°，根据平行线的性质，可得∠AOP=∠CBA，所以可证得△ABC∽△POA，根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例可求得BC的长．
解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°．
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠CBA．
则△ABC∽△POA．

（2）解：∵AB是⊙O的直径，且AB=2，
∴OA=1．
∵在Rt△OAP中，PA=，
∴．
∵由（1）可知△ABC∽△POA，
∴．
则BC=．
∴求得BC=．
点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．