Question

【题目】我们知道：三角形的三条角平分线交于一点，这个点称为三角形的内心(三角形内切圆的圆心).现在规定：如果四边形的四个角的角平分线交于一点，我们把这个点也成为“四边形的内心”.

(1)试举出一个有内心的四边形.

(2)如图1，已知点O是四边形ABCD的内心，求证：AB+CD=AD+BC.

(3)如图2，Rt△ABC中，∠C=90°.O是△ABC的内心.若直线DE截边AC、BC于点D.E，且O仍然是四边形ABED的内心.这样的直线DE可画多少条?请在图2中画出一条符合条件的直线DE，并简单说明作法.

(4)问题(3)中，若AC=3，BC=4，满足条件的一条直线DE∥AB，求DE的长.

Answer 1

【答案】（1）菱形;（2）证明见解析;（3）无数条；画图，说明作法见解析；（4）DE=

【解析】

（1）根据菱形的每一条对角线平分一组对角，可得答案；

（2）根据内心是各角角平分线的交点，可得∠EAO=∠FAO，根据HL，可得Rt△AEO和Rt△AFO的关系，根据全等三角形的性质，可得AE与AF的关系，同理可得BF与BG，CG与CH，DH与DE的关系，根据等式的性质，可得答案；

（3）根据四边形内心的意义，可得答案；

（4）根据勾股定理，可得AB的长，根据面积相等，可得CG的长，根据相似三角形的性质，可得方程，根据比例的性质，可得方程的解，可得答案．

解：（1）∵菱形的每一条对角线平分一组对角，

∴菱形是一个有内心的四边形；

（2）作OE⊥AD于E，OF⊥AB与于F，CG⊥BC于G，OH⊥CD于H，则∠AEO=∠AFO=90°.

∵O是四边形ABCD的内心，

∴∠EAO=∠FAO .

在Rt△AEO和Rt△AFO中，

∴Rt△AEO≌Rt△AFO（HL），

∴AE=AF，

同理：BF=BG，CG=CH，DH=DE，

∴AE+DE+BG+CG=AF+BF+CH+DH，

即：AD+BC=AB+CD；

（3）有无数条，

作△ABC的内切圆圆O，切AC、BC于M、N，在弧MN上取一点F，作过F点作圆O的切线，交AB于E，交AC于D，沿DE剪裁，

（4）作CG⊥AB与点G，

由勾股定理得：AB=，

∵，

∴CG=2.4，

设△ABC的内切圆的半径为r，则r= (AC+BCAB)＝ (3+45)=1，

∵DE∥AB，

∴△CDE∽△CAB，

∴，

∴，

∴DE＝．