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17.在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,O是AB的中点,D在AB的延长线上,E在AD下方且∠OED=90°,∠OAE=∠OEA,CE交AD于F.
(1)求证:DE=DF;
(2)若OF=1,OA=3,求S△ACB

分析 (1)先连接OC,再根据等腰直角三角形的性质,得出OC=AO,根据等角对等边,得出OE=OA,进而判定△OCE是等腰三角形,最后根据等角的余角相等,得出∠DFE=∠DEF即可;
(2)根据等腰直角三角形的性质,求得CO=BO=3,进而计算△ACB的面积.

解答 解:(1)连接OC,
∵等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,O是AB的中点,
∴OC=AO,OC⊥AB,
∵∠OAE=∠OEA,
∴OE=OA,
∴OC=OE,
∴∠OCF=∠OEF,
又∵∠OED=90°,∠COF=90°,
∠CFO=90°-OCF,∠FED=90°-∠OFE,
∴∠CFO=∠FED,
又∵∠CFO=∠DFE,
∴∠DFE=∠DEF,
∴DE=DF;

(2)∵OA=3,
∴CO=BO=3,
又∵CO⊥AB,
∴S△ACB=$\frac{1}{2}$×AB×CO=$\frac{1}{2}$×6×3=9.

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及三角形的面积,解决问题的关键是熟知:等腰直角三角形是一种特殊的等腰三角形,具有所有等腰三角形的性质,还具备直角三角形的所有性质.

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