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(2012•衡阳)如图,AB是⊙O的直径,动弦CD垂直AB于点E,过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F,若AB=10cm.
(1)求证:BF是⊙O的切线.
(2)若AD=8cm,求BE的长.
(3)若四边形CBFD为平行四边形,则四边形ACBD为何种四边形?并说明理由.
分析:(1)欲证明BF是⊙O的切线,只需证明AB⊥BF即可;
(2)连接BD,在直角三角形ABD中,利用射影定理可以求得AE的长度,最后结合图形知BE=AB-AE;
(3)连接BC.四边形CBFD为平行四边形,则四边形ACBD是正方形.根据平行四边形的对边平行、平行线的性质、圆周角定理以及同弧所对的圆周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°,即CD是⊙O的直径,然后由全等三角形的判定与性质推知AC=BD;根据正方形的判定定理证得四边形ACBD是正方形.
解答:解:(1)∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,BF∥CD,
∴BF⊥AB,
∵点B在圆上,
∴BF是⊙O的切线;

(2)如图1,连接BD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角);
又∵DE⊥AB
∴AD2=AE•AB;
∵AD=8cm,AB=10cm,
AE=6.4cm,
∴BE=AB-AE=3.6cm;

(3)连接BC.
四边形CBFD为平行四边形,则四边形ACBD是正方形.理由如下:
∵四边形CBFD为平行四边形,
∴BC∥FD,即BC∥AD;
∴∠BCD=∠ADC(两直线平行,内错角相等),
∵∠BCD=∠BAD,∠CAB=∠CDB,(同弧所对的圆周角相等),
∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC,即∠CAD=∠BDA;
又∵∠BDA=90°(直径所对的圆周角是直角),
∴∠CAD=∠BDA=90°,
∴CD是⊙O的直径,即点E与点O重合(或线段CD过圆心O),如图2,
在△OBC和△ODA中,
OC=OD
∠COB=∠DOA=90°
OB=OA

∴△OBC≌△ODA(SAS),
∴BC=DA(全等三角形的对应边相等),
∴四边形ACBD是平行四边形(对边平行且相等的四边形是平行四边形);
∵∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角),AC=AD,
∴四边形ACBD是正方形.
点评:本题综合考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理等知识点.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
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