Question

11．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
（1）求证：AC=CD；
（2）若OB=2，求BH的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，只要证明OC∥BD即可．
（2）在Rt△ABF中，根据BH=$\frac{AB•BF}{AF}$计算即可．

解答 证明（1）连接OC．

∵C是$\widehat{AB}$中点，AB是○O的直径
∴OC⊥AB，
∵BD是○O切线，
∴BD⊥AB．
∴OC∥BD．
∵AO=BO，
∴AC=CD

（2）∵E是OB中点，
∴OE=BE
在△COE与△FBE中，
∠CEO=∠FEB
OE=BE
∠COE=∠FBE
△COE≌△FBE（ASA）
∴BF=CO
∵OB=2，
∴BF=2
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AB是直径
∴BH⊥AF
∴AB•BF=AF•BH
∴BH=$\frac{AB•BF}{AF}$=$\frac{4×2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查圆的有关知识，切线的性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．